Номер 66, страница 119 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

66. Определите графически количество решений системы уравнений:

1) $\begin{cases}y = -x^3, \\y = 2 - x;\end{cases}$

2) $\begin{cases}y = x^{-2}, \\y = \sqrt{x + 2}.\end{cases}$

Чтобы графически определить количество решений системы уравнений $ \begin{cases} y = -x^3 \\ y = 2 - x \end{cases} $, нужно построить графики функций $y = -x^3$ и $y = 2 - x$ в одной системе координат и найти число точек их пересечения.

График функции $y = -x^3$ — это кубическая парабола, симметричная относительно начала координат. Она расположена во второй и четвертой координатных четвертях и проходит через точки $(-1, 1)$, $(0, 0)$ и $(1, -1)$.

График функции $y = 2 - x$ — это прямая линия, проходящая через точки $(0, 2)$ и $(2, 0)$.

При построении этих графиков в одной системе координат видно, что они пересекаются только в одной точке. Эта точка лежит во второй координатной четверти. При $x \to -\infty$ график кубической параболы находится выше прямой, а при $x \to +\infty$ — ниже. Так как обе функции непрерывны, они пересекаются ровно один раз. Следовательно, система имеет одно решение. Ответ: 1

Чтобы графически определить количество решений системы уравнений $ \begin{cases} y = x^{-2} \\ y = \sqrt{x+2} \end{cases} $, нужно построить графики функций $y = \frac{1}{x^2}$ и $y = \sqrt{x+2}$ и найти число точек их пересечения.

График функции $y = \frac{1}{x^2}$ состоит из двух ветвей. Они расположены в первой и второй координатных четвертях, симметричны относительно оси OY. Оси координат являются асимптотами графика. Функция всегда принимает положительные значения.

График функции $y = \sqrt{x+2}$ — это верхняя ветвь параболы, которая получается сдвигом графика $y = \sqrt{x}$ на 2 единицы влево вдоль оси OX. Область определения функции — $x \ge -2$. График начинается в точке $(-2, 0)$ и монотонно возрастает.

При совместном построении графиков ищем точки их пересечения.
Во второй четверти (при $-2 \le x < 0$) графики пересекаются в точке $(-1, 1)$, так как при $x=-1$ оба уравнения дают $y=1$.
В первой четверти (при $x > 0$) ветвь графика $y = \frac{1}{x^2}$ убывает от $+\infty$ до 0, а график $y = \sqrt{x+2}$ возрастает от $\sqrt{2}$. Поскольку при $x$, стремящемся к нулю справа, график $y = \frac{1}{x^2}$ находится выше графика $y = \sqrt{x+2}$, а при увеличении $x$ он оказывается ниже, то графики обязательно пересекутся в одной точке и в этой четверти.
Всего получается две точки пересечения, значит, система имеет два решения. Ответ: 2