Номер 61, страница 118 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

61. Дана функция $f(x) = x^{-15}$. Сравните:

1) $f(20)$ и $f(23)$;

2) $f(-1,6)$ и $f(-1,8)$;

3) $f(-6,4)$ и $f(6,4)$.

Дана функция $f(x) = x^{-15}$. Для того чтобы сравнить значения функции, проанализируем её свойства.

Функцию можно записать в виде $f(x) = \frac{1}{x^{15}}$.

Свойства функции:

1. Четность/нечетность. Проверим значение функции для $-x$: $f(-x) = (-x)^{-15} = \frac{1}{(-x)^{15}} = \frac{1}{-x^{15}} = - \frac{1}{x^{15}} = -f(x)$. Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

2. Монотонность. Найдем производную функции: $f'(x) = (x^{-15})' = -15x^{-16} = -\frac{15}{x^{16}}$. Поскольку $x^{16} = (x^8)^2 > 0$ для любого $x \neq 0$, производная $f'(x)$ всегда отрицательна ($f'(x) < 0$) в области определения. Это означает, что функция $f(x)$ является строго убывающей на каждом из интервалов своей области определения: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Теперь, используя эти свойства, сравним значения функции в заданных точках.

1) f(20) и f(23)

Аргументы $20$ и $23$ принадлежат интервалу $(0; +\infty)$, на котором функция $f(x)$ строго убывает. Так как $20 < 23$, то по определению убывающей функции, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно, $f(20) > f(23)$.

Ответ: $f(20) > f(23)$.

2) f(-1,6) и f(-1,8)

Аргументы $-1,8$ и $-1,6$ принадлежат интервалу $(-\infty; 0)$, на котором функция $f(x)$ также строго убывает. Сравним аргументы: $-1,8 < -1,6$. Так как функция убывающая, для меньшего аргумента ($-1,8$) значение функции будет больше, чем для большего аргумента ($-1,6$). Следовательно, $f(-1,8) > f(-1,6)$.

Ответ: $f(-1,6) < f(-1,8)$.

3) f(-6,4) и f(6,4)

Как было установлено ранее, функция $f(x) = x^{-15}$ является нечетной, то есть $f(-x) = -f(x)$ для любого $x$ из области определения. Поэтому $f(-6,4) = -f(6,4)$. Нам нужно сравнить $-f(6,4)$ и $f(6,4)$. Найдем знак $f(6,4)$. $f(6,4) = (6,4)^{-15} = \frac{1}{6,4^{15}}$. Так как $6,4 > 0$, то $6,4^{15} > 0$, и, следовательно, $f(6,4) > 0$. Поскольку $f(6,4)$ - положительное число, то $-f(6,4)$ будет отрицательным числом. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа, поэтому $-f(6,4) < f(6,4)$. Следовательно, $f(-6,4) < f(6,4)$.

Ответ: $f(-6,4) < f(6,4)$.