Номер 57, страница 118 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

57. Сколько корней в зависимости от значения a имеет уравнение:

1) $x^{14} = 5-a$;

2) $x^{16} = a^2 - 10a + 16$?

1) Данное уравнение имеет вид $x^{2n} = b$, где показатель степени $2n = 14$ является четным числом, а правая часть $b = 5 - a$. Количество действительных корней такого уравнения зависит от знака правой части.

• Если правая часть положительна ($5 - a > 0$), то уравнение имеет два действительных корня. Решим неравенство: $5 - a > 0 \implies a < 5$. При $a < 5$ уравнение имеет два корня: $x_1 = \sqrt[14]{5-a}$ и $x_2 = -\sqrt[14]{5-a}$.
• Если правая часть равна нулю ($5 - a = 0$), то уравнение имеет один действительный корень. Решим уравнение: $5 - a = 0 \implies a = 5$. При $a = 5$ уравнение принимает вид $x^{14} = 0$, и его единственный корень $x = 0$.
• Если правая часть отрицательна ($5 - a < 0$), то уравнение не имеет действительных корней, так как четная степень действительного числа не может быть отрицательной. Решим неравенство: $5 - a < 0 \implies a > 5$. При $a > 5$ у уравнения нет действительных корней.

Ответ: если $a < 5$, то уравнение имеет 2 корня; если $a = 5$, то 1 корень; если $a > 5$, то корней нет.

2) Данное уравнение имеет вид $x^{2n} = b$, где показатель степени $2n = 16$ является четным числом, а правая часть $b = a^2 - 10a + 16$. Количество действительных корней зависит от знака правой части, то есть от знака квадратного трехчлена $a^2 - 10a + 16$. Найдем корни квадратного уравнения $a^2 - 10a + 16 = 0$. Используя теорему Виета, находим корни: $a_1 = 2$ и $a_2 = 8$. Графиком функции $y = a^2 - 10a + 16$ является парабола с ветвями, направленными вверх, пересекающая ось абсцисс в точках $a=2$ и $a=8$.

• Если правая часть положительна ($a^2 - 10a + 16 > 0$), то уравнение имеет два действительных корня. Неравенство $(a-2)(a-8) > 0$ выполняется при $a < 2$ или $a > 8$. Следовательно, при $a \in (-\infty; 2) \cup (8; +\infty)$ уравнение имеет два корня.
• Если правая часть равна нулю ($a^2 - 10a + 16 = 0$), то уравнение имеет один действительный корень. Это происходит при $a = 2$ или $a = 8$. В этих случаях уравнение принимает вид $x^{16} = 0$, и его единственный корень $x = 0$.
• Если правая часть отрицательна ($a^2 - 10a + 16 < 0$), то уравнение не имеет действительных корней. Неравенство $(a-2)(a-8) < 0$ выполняется при $2 < a < 8$. Следовательно, при $a \in (2; 8)$ у уравнения нет действительных корней.

Ответ: если $a \in (-\infty; 2) \cup (8; +\infty)$, то 2 корня; если $a=2$ или $a=8$, то 1 корень; если $a \in (2; 8)$, то корней нет.