Номер 56, страница 117 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

56. Постройте график функции:

1) $f(x) = \begin{cases} x^4 + 1, & \text{если } x < 0 \\ \frac{1}{x+1}, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

2) $f(x) = \begin{cases} -x^3, & \text{если } x < 1 \\ \sqrt{x-2}, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$

Пользуясь построенным графиком, укажите промежутки возрастания и промежутки убывания данной функции.

1) Дана функция $f(x) = \begin{cases} x^4 + 1, & \text{если } x < 0 \\ \frac{1}{x+1}, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$.

Для построения графика этой кусочно-заданной функции рассмотрим две ее части.

При $x < 0$ строим график функции $y = x^4 + 1$. Это график стандартной функции $y = x^4$, смещенный на 1 единицу вверх по оси OY. Для $x < 0$ это левая ветвь, которая убывает при приближении к оси OY. Найдем несколько контрольных точек: при $x = -1$, $y = (-1)^4 + 1 = 2$; при $x = -2$, $y = (-2)^4 + 1 = 17$. При $x \to 0^-$, значение $y \to 1$. Следовательно, точка $(0, 1)$ является конечной для этой части графика, и она будет выколотой.

При $x \ge 0$ строим график функции $y = \frac{1}{x+1}$. Это график гиперболы $y = \frac{1}{x}$, смещенный на 1 единицу влево по оси OX. Мы рассматриваем только ту часть графика, где $x \ge 0$. Найдем контрольные точки: при $x = 0$, $y = \frac{1}{0+1} = 1$; при $x = 1$, $y = \frac{1}{1+1} = 0.5$. Точка $(0, 1)$ принадлежит этой части графика, "закрашивая" выколотую точку от первой части. Это означает, что функция непрерывна в точке $x=0$. На этом интервале функция также убывает, асимптотически приближаясь к оси OX ($y=0$).

Анализ монотонности по построенному графику. График функции непрерывно убывает на всей числовой оси. На промежутке $(-\infty, 0)$ функция убывает от $+\infty$ до 1. На промежутке $[0, \infty)$ она продолжает убывать от 1 до 0. Таким образом, у функции нет промежутков возрастания.

Промежутки возрастания: нет.
Промежутки убывания: $(-\infty, \infty)$.

Ответ: Промежутков возрастания нет, функция убывает на промежутке $(-\infty, \infty)$.

2) Дана функция $f(x) = \begin{cases} -x^3, & \text{если } x < 1 \\ \sqrt{x} - 2, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$.

Для построения графика также рассмотрим две части.

При $x < 1$ строим график функции $y = -x^3$. Это график кубической параболы $y = x^3$, отраженный симметрично относительно оси OX. Эта функция является убывающей на всей своей области определения. График проходит через начало координат $(0, 0)$ и точку $(-1, 1)$. При $x \to 1^-$, значение $y \to -1^3 = -1$. Точка $(1, -1)$ является выколотой для этой части графика.

При $x \ge 1$ строим график функции $y = \sqrt{x} - 2$. Это график функции $y = \sqrt{x}$, смещенный на 2 единицы вниз по оси OY. Эта функция является возрастающей. Найдем контрольные точки: при $x = 1$, $y = \sqrt{1} - 2 = -1$. Эта точка $(1, -1)$ "закрашивает" выколотую точку от первой части, делая функцию непрерывной. Другие точки на графике: $(4, 0)$ (пересечение с осью OX), $(9, 1)$.

Анализ монотонности по построенному графику. Совместив обе части, видим, что функция убывает на промежутке до $x=1$, а затем возрастает, начиная с $x=1$. Точка $(1, -1)$ является точкой минимума функции.

Промежутки возрастания: $[1, \infty)$.
Промежутки убывания: $(-\infty, 1]$.

Ответ: Функция возрастает на промежутке $[1, \infty)$, убывает на промежутке $(-\infty, 1]$.