Номер 50, страница 117 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

50. Решите уравнение:

1) $x^5 = -32;$

2) $x^3 = 343;$

3) $x^4 = 10000;$

4) $x^4 = -81.$

1) $x^5 = -32$

Чтобы решить это уравнение, необходимо найти корень пятой степени из -32. Это можно записать как $x = \sqrt[5]{-32}$.

Поскольку показатель степени 5 является нечетным числом, уравнение имеет один действительный корень. Нам нужно найти число, которое при возведении в пятую степень дает -32.

Проверим число -2:

$(-2)^5 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 16 \cdot (-2) = -32$.

Следовательно, $x = -2$.

Ответ: -2.

2) $x^3 = 343$

Для решения нужно найти корень третьей степени (кубический корень) из 343. Запишем это как $x = \sqrt[3]{343}$.

Показатель степени 3 является нечетным, поэтому уравнение имеет один действительный корень.

Найдем число, куб которого равен 343. Можно заметить, что число 343 оканчивается на 3. Из кубов целых чисел от 1 до 9 только куб числа, оканчивающегося на 7, будет оканчиваться на 3. Проверим число 7:

$7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 49 \cdot 7 = 343$.

Таким образом, $x = 7$.

Ответ: 7.

3) $x^4 = 10000$

Здесь показатель степени 4 является четным числом, а правая часть уравнения (10000) — положительное число. В этом случае уравнение вида $x^n = a$ (где $n$ — четное, $a > 0$) имеет два действительных корня: $x = \sqrt[n]{a}$ и $x = -\sqrt[n]{a}$.

Следовательно, решениями будут $x = \pm\sqrt[4]{10000}$.

Найдем корень четвертой степени из 10000. Мы знаем, что $10000 = 100 \cdot 100 = 10^2 \cdot 10^2 = 10^4$.

Значит, $\sqrt[4]{10000} = 10$.

Корни уравнения: $x_1 = 10$ и $x_2 = -10$.

Ответ: -10; 10.

4) $x^4 = -81$

Показатель степени 4 является четным числом. Любое действительное число, возведенное в четную степень, дает неотрицательный результат. То есть, для любого действительного $x$, $x^4 \ge 0$.

Правая часть уравнения равна -81, что является отрицательным числом.

Поскольку неотрицательное число не может быть равно отрицательному, данное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет корней.