Номер 44, страница 116 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

44. Решите неравенство:

1) $(x^2 - 5x + 6)\sqrt{x^2 + 5x + 4} < 0;$

2) $(x^2 - 5x + 6)\sqrt{x^2 + 5x + 4} > 0;$

3) $(x^2 - 5x + 6)\sqrt{x^2 + 5x + 4} \leq 0;$

4) $(x^2 - 5x + 6)\sqrt{x^2 + 5x + 4} \geq 0.$

Для решения данных неравенств предварительно проанализируем выражения, входящие в них. Первый множитель: $x^2 - 5x + 6$. Найдем его корни: $x^2 - 5x + 6 = 0$, по теореме Виета $x_1 = 2$, $x_2 = 3$. Тогда $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$. Этот множитель положителен при $x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty)$ и отрицателен при $x \in (2, 3)$. Второй множитель: $\sqrt{x^2 + 5x + 4}$. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x^2 + 5x + 4 \ge 0$. Корнями уравнения $x^2 + 5x + 4 = 0$ являются $x_3 = -4$ и $x_4 = -1$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, -4] \cup [-1, \infty)$. На этой области $\sqrt{x^2 + 5x + 4} \ge 0$. Корень равен нулю при $x=-4, x=-1$ и строго положителен при $x \in (-\infty, -4) \cup (-1, \infty)$.

1) $(x^2 - 5x + 6)\sqrt{x^2 + 5x + 4} < 0$

Произведение двух множителей отрицательно. Поскольку множитель $\sqrt{x^2 + 5x + 4}$ не может быть отрицательным, он должен быть строго больше нуля, а первый множитель $(x^2 - 5x + 6)$ должен быть строго отрицательным. Это приводит к системе неравенств: $x^2 - 5x + 6 < 0$ и $\sqrt{x^2 + 5x + 4} > 0$.

Решим каждое неравенство:

1. $x^2 - 5x + 6 < 0 \implies (x-2)(x-3) < 0$. Решением является интервал $x \in (2, 3)$.

2. $\sqrt{x^2 + 5x + 4} > 0 \implies x^2 + 5x + 4 > 0$. Решением является $x \in (-\infty, -4) \cup (-1, \infty)$.

Теперь найдем пересечение решений: $x \in (2, 3) \cap ((-\infty, -4) \cup (-1, \infty))$. Интервал $(2, 3)$ полностью содержится в интервале $(-1, \infty)$, поэтому их пересечение равно $(2, 3)$.

Ответ: $x \in (2, 3)$.

2) $(x^2 - 5x + 6)\sqrt{x^2 + 5x + 4} > 0$

Произведение положительно. Поскольку $\sqrt{x^2 + 5x + 4} \ge 0$, оба множителя должны быть строго больше нуля. Это приводит к системе неравенств: $x^2 - 5x + 6 > 0$ и $\sqrt{x^2 + 5x + 4} > 0$.

Решим каждое неравенство:

1. $x^2 - 5x + 6 > 0 \implies (x-2)(x-3) > 0$. Решением является $x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty)$.

2. $\sqrt{x^2 + 5x + 4} > 0 \implies x^2 + 5x + 4 > 0$. Решением является $x \in (-\infty, -4) \cup (-1, \infty)$.

Найдем пересечение этих двух множеств: $((-\infty, 2) \cup (3, \infty)) \cap ((-\infty, -4) \cup (-1, \infty))$. Пересечение $(-\infty, 2)$ с $(-\infty, -4) \cup (-1, \infty)$ дает $(-\infty, -4) \cup (-1, 2)$. Пересечение $(3, \infty)$ с $(-\infty, -4) \cup (-1, \infty)$ дает $(3, \infty)$. Объединяя полученные интервалы, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (-1, 2) \cup (3, \infty)$.

3) $(x^2 - 5x + 6)\sqrt{x^2 + 5x + 4} \le 0$

Неравенство выполняется, когда произведение меньше нуля или равно нулю.

Случай 1: Произведение меньше нуля. Из пункта 1) решение этого неравенства есть $x \in (2, 3)$.

Случай 2: Произведение равно нулю. Это происходит, если один из множителей равен нулю, а другой при этом определен.$x^2 - 5x + 6 = 0 \implies x=2$ или $x=3$. Оба значения входят в ОДЗ.$\sqrt{x^2 + 5x + 4} = 0 \implies x^2 + 5x + 4 = 0 \implies x=-4$ или $x=-1$. Таким образом, точки, в которых выражение равно нулю, это $\{-4, -1, 2, 3\}$.

Объединяем решения из обоих случаев: $(2, 3) \cup \{-4, -1, 2, 3\}$. Объединение $(2, 3)$ с точками $2$ и $3$ дает отрезок $[2, 3]$. Добавляя остальные точки, получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in \{-4, -1\} \cup [2, 3]$.

4) $(x^2 - 5x + 6)\sqrt{x^2 + 5x + 4} \ge 0$

Неравенство выполняется, когда произведение больше нуля или равно нулю.

Случай 1: Произведение больше нуля. Из пункта 2) решение этого неравенства есть $x \in (-\infty, -4) \cup (-1, 2) \cup (3, \infty)$.

Случай 2: Произведение равно нулю. Из пункта 3) мы знаем, что это происходит при $x \in \{-4, -1, 2, 3\}$.

Объединяем решения из обоих случаев: $((-\infty, -4) \cup (-1, 2) \cup (3, \infty)) \cup \{-4, -1, 2, 3\}$. Объединяя интервалы с их граничными точками, получаем:$(-\infty, -4) \cup \{-4\} = (-\infty, -4]$;$(-1, 2) \cup \{-1, 2\} = [-1, 2]$;$(3, \infty) \cup \{3\} = [3, \infty)$. Итоговое решение является объединением этих множеств.

Ответ: $x \in (-\infty, -4] \cup [-1, 2] \cup [3, \infty)$.