Номер 40, страница 116 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

40. Найдите множество решений неравенства:

1) $\frac{x^2 - 6x}{x^2 - 36} \ge 0$;

2) $\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 3x - 4} \le 0$.

Рассмотрим неравенство $\frac{x^2 - 6x}{x^2 - 36} \ge 0$.

Для решения этого неравенства методом интервалов, сначала разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $x^2 - 6x = x(x - 6)$.

Знаменатель: $x^2 - 36 = (x - 6)(x + 6)$ (по формуле разности квадратов).

Теперь неравенство имеет вид:

$\frac{x(x - 6)}{(x - 6)(x + 6)} \ge 0$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому:

$(x - 6)(x + 6) \neq 0$, откуда $x \neq 6$ и $x \neq -6$.

На ОДЗ (при $x \neq 6$) мы можем сократить дробь на множитель $(x-6)$:

$\frac{x}{x + 6} \ge 0$.

Найдем нули числителя и знаменателя полученного выражения:

Нуль числителя: $x=0$.

Нуль знаменателя: $x+6=0 \Rightarrow x=-6$.

Отметим эти точки, а также точку $x=6$ из ОДЗ, на числовой прямой. Точка $x=0$ будет закрашенной (включенной), так как неравенство нестрогое ($\ge$). Точки $x=-6$ и $x=6$ будут выколотыми (не включенными), так как они обращают знаменатель в ноль.

Определим знаки выражения на полученных интервалах $(-\infty; -6)$, $(-6; 0]$, $[0; 6)$ и $(6; +\infty)$:

• При $x > 6$ (например, $x=7$): $\frac{7(7-6)}{(7-6)(7+6)} = \frac{7}{13} > 0$. Знак "+".
• При $0 \le x < 6$ (например, $x=1$): $\frac{1(1-6)}{(1-6)(1+6)} = \frac{1}{7} > 0$. Знак "+".
• При $-6 < x < 0$ (например, $x=-1$): $\frac{-1(-1-6)}{(-1-6)(-1+6)} = \frac{7}{-35} < 0$. Знак "-".
• При $x < -6$ (например, $x=-7$): $\frac{-7(-7-6)}{(-7-6)(-7+6)} = \frac{-7(-13)}{(-13)(-1)} = 7 > 0$. Знак "+".

Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю. Это $(-\infty, -6)$, $[0, 6)$ и $(6, +\infty)$.

Объединяя эти интервалы, получаем итоговое множество решений.

Ответ: $(-\infty, -6) \cup [0, 6) \cup (6, +\infty)$.

Рассмотрим неравенство $\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 3x - 4} \le 0$.

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$ (квадрат разности).

Знаменатель: $x^2 + 3x - 4$. Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 3x - 4 = 0$. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -3$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = -4$. Корнями являются $x_1=1$ и $x_2=-4$. Следовательно, $x^2 + 3x - 4 = (x - 1)(x + 4)$.

Неравенство принимает вид:

$\frac{(x - 1)^2}{(x - 1)(x + 4)} \le 0$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не должен равняться нулю:

$(x - 1)(x + 4) \neq 0$, откуда $x \neq 1$ и $x \neq -4$.

На ОДЗ (при $x \neq 1$) мы можем сократить дробь на $(x-1)$:

$\frac{x - 1}{x + 4} \le 0$.

Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $x-1=0 \Rightarrow x=1$.

Нуль знаменателя: $x+4=0 \Rightarrow x=-4$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Обе точки, $x=1$ и $x=-4$, будут выколотыми, так как они не входят в ОДЗ.

Определим знаки выражения на полученных интервалах $(-\infty, -4)$, $(-4, 1)$ и $(1, +\infty)$:

• При $x > 1$ (например, $x=2$): $\frac{2-1}{2+4} = \frac{1}{6} > 0$. Знак "+".
• При $-4 < x < 1$ (например, $x=0$): $\frac{0-1}{0+4} = -\frac{1}{4} < 0$. Знак "-".
• При $x < -4$ (например, $x=-5$): $\frac{-5-1}{-5+4} = \frac{-6}{-1} = 6 > 0$. Знак "+".

Нам нужно, чтобы выражение было меньше или равно нулю. Выражение равно нулю при $x=1$, но эта точка не входит в ОДЗ. Значит, ищем интервал, где выражение строго меньше нуля.

Это интервал $(-4, 1)$.

Ответ: $(-4, 1)$.