Номер 33, страница 114 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

33. Какое из двух неравенств является следствием другого:

1) $x \le -4$ и $x < 7$;

2) $x \ge 5$ и $x > 5$;

3) $|x| < 11$ и $x < 11$;

4) $x^2 > 64$ и $x > 8$?

Неравенство B является следствием неравенства A, если множество решений неравенства A является подмножеством множества решений неравенства B. Иными словами, если из истинности неравенства A всегда следует истинность неравенства B. Обозначим множество решений неравенства A как $S(A)$, а неравенства B как $S(B)$. Тогда B является следствием A, если $S(A) \subseteq S(B)$. Проанализируем каждую пару неравенств.

1) $x \le -4$ и $x < 7$

Пусть неравенство A — это $x \le -4$. Множество его решений $S(A) = (-\infty; -4]$.

Пусть неравенство B — это $x < 7$. Множество его решений $S(B) = (-\infty; 7)$.

Поскольку любое число, меньшее или равное -4, очевидно меньше 7, то каждое решение неравенства A является также решением неравенства B. Таким образом, множество $S(A)$ является подмножеством множества $S(B)$, то есть $S(A) \subseteq S(B)$.

Следовательно, неравенство $x < 7$ является следствием неравенства $x \le -4$.

Обратное неверно: например, $x=0$ является решением неравенства $x < 7$, но не является решением неравенства $x \le -4$.

Ответ: неравенство $x < 7$ является следствием неравенства $x \le -4$.

2) $x \ge 5$ и $x > 5$

Пусть неравенство A — это $x \ge 5$. Множество его решений $S(A) = [5; +\infty)$.

Пусть неравенство B — это $x > 5$. Множество его решений $S(B) = (5; +\infty)$.

Любое число, которое строго больше 5, также будет больше или равно 5. Значит, каждое решение неравенства B является также решением неравенства A. Таким образом, $S(B) \subseteq S(A)$.

Следовательно, неравенство $x \ge 5$ является следствием неравенства $x > 5$.

Обратное неверно: число $x=5$ является решением неравенства $x \ge 5$, но не является решением неравенства $x > 5$.

Ответ: неравенство $x \ge 5$ является следствием неравенства $x > 5$.

3) $|x| < 11$ и $x < 11$

Пусть неравенство A — это $|x| < 11$. Это неравенство равносильно двойному неравенству $-11 < x < 11$. Множество его решений $S(A) = (-11; 11)$.

Пусть неравенство B — это $x < 11$. Множество его решений $S(B) = (-\infty; 11)$.

Любое число, находящееся в интервале от -11 до 11, также меньше 11. Значит, каждое решение неравенства A является решением неравенства B. Таким образом, $S(A) \subseteq S(B)$.

Следовательно, неравенство $x < 11$ является следствием неравенства $|x| < 11$.

Обратное неверно: например, $x=-15$ является решением неравенства $x < 11$, но не является решением $|x| < 11$ (так как $|-15| = 15 \not< 11$).

Ответ: неравенство $x < 11$ является следствием неравенства $|x| < 11$.

4) $x^2 > 64$ и $x > 8$

Пусть неравенство A — это $x^2 > 64$. Решив его, получаем $|x| > 8$, что равносильно совокупности неравенств $x > 8$ или $x < -8$. Множество решений $S(A) = (-\infty; -8) \cup (8; +\infty)$.

Пусть неравенство B — это $x > 8$. Множество его решений $S(B) = (8; +\infty)$.

Если число $x$ строго больше 8, то его квадрат $x^2$ будет строго больше $8^2=64$. Значит, каждое решение неравенства B является также решением неравенства A. Таким образом, $S(B) \subseteq S(A)$.

Следовательно, неравенство $x^2 > 64$ является следствием неравенства $x > 8$.

Обратное неверно: например, $x=-9$ является решением неравенства $x^2 > 64$ (так как $(-9)^2 = 81 > 64$), но не является решением неравенства $x > 8$.

Ответ: неравенство $x^2 > 64$ является следствием неравенства $x > 8$.