Номер 28, страница 113 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

28. С помощью графика функции f, изображённого на рисунке 25, постройте график функции g, обратной к функции f.

Рис. 25

а

б

в

График функции $g$, обратной к функции $f$, симметричен графику функции $f$ относительно прямой $y=x$. Это означает, что для каждой точки $(a, b)$ на графике $f$ существует соответствующая точка $(b, a)$ на графике $g$. Для построения графика обратной функции $g$ необходимо выбрать несколько характерных точек на графике $f$, поменять их координаты местами и соединить полученные точки плавной линией, учитывая поведение исходной функции (например, асимптоты).

а

На графике функции $f$ выберем следующие точки: $(-1, 0.5)$, $(0, 1)$, $(1, 2)$ и $(2, 4)$. Также видно, что график имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ при $x \to -\infty$.

Для построения графика обратной функции $g$ возьмем точки с инвертированными координатами: $(0.5, -1)$, $(1, 0)$, $(2, 1)$ и $(4, 2)$. Горизонтальная асимптота $y=0$ функции $f$ преобразуется в вертикальную асимптоту $x=0$ для функции $g$. Соединив новые точки плавной кривой, получим график логарифмической функции.

Ответ: Для построения графика функции $g$ необходимо отметить точки $(0.5, -1)$, $(1, 0)$, $(2, 1)$, $(4, 2)$ и соединить их плавной линией, которая асимптотически приближается к оси $Oy$ при стремлении $x$ к нулю справа.

б

На графике функции $f$ выберем следующие точки: $(0, -1)$, $(1, 0)$ и $(4, 1)$. Это график функции вида $f(x) = \sqrt{x} - 1$, определенной для $x \ge 0$.

Соответствующие точки для графика обратной функции $g$ будут: $(-1, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, 4)$. Область определения функции $g$ будет $x \ge -1$. Соединив эти точки, получим ветвь параболы с вершиной в точке $(-1, 0)$.

Ответ: Для построения графика функции $g$ необходимо отметить точки $(-1, 0)$, $(0, 1)$, $(1, 4)$ и соединить их плавной кривой, образуя ветвь параболы, выходящую из вершины в точке $(-1, 0)$ и идущую вверх.

в

График функции $f$ — это прямая, проходящая через точки $(0, 2)$ и $(1, 0)$.

Для построения графика обратной функции $g$, которая также является прямой, возьмем точки с инвертированными координатами: $(2, 0)$ и $(0, 1)$.

Ответ: Для построения графика функции $g$ необходимо отметить точки $(2, 0)$ и $(0, 1)$ и провести через них прямую линию.