Номер 27, страница 112 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

27. Найдите функцию, обратную к данной:

1) $y = 3x + 2;$

2) $y = \frac{4}{x+3};$

3) $y = \sqrt{x+4} + 2;$

4) $y = x^2, x \in [1; +\infty);$

5) $y = \frac{x}{2-x}.$

Чтобы найти функцию, обратную к данной, необходимо выполнить следующие шаги:

1. В уравнении $y = f(x)$ выразить $x$ через $y$.
2. В полученном уравнении $x = g(y)$ поменять местами переменные $x$ и $y$.
3. Полученная функция $y = g(x)$ будет обратной к исходной. При этом область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной, а область значений обратной — с областью определения исходной.

1) $y = 3x + 2$

Выразим $x$ из уравнения:

$3x = y - 2$

$x = \frac{y - 2}{3}$

Теперь поменяем местами $x$ и $y$:

$y = \frac{x - 2}{3}$

Ответ: $y = \frac{x-2}{3}$

2) $y = \frac{4}{x+3}$

Выразим $x$ из уравнения. Область определения исходной функции: $x \neq -3$. Область значений: $y \neq 0$.

$y(x+3) = 4$

$x+3 = \frac{4}{y}$

$x = \frac{4}{y} - 3$

Меняем местами $x$ и $y$:

$y = \frac{4}{x} - 3$

Ответ: $y = \frac{4}{x} - 3$

3) $y = \sqrt{x+4} + 2$

Найдем область определения и область значений исходной функции.

Область определения: $x+4 \ge 0 \Rightarrow x \ge -4$.

Область значений: $\sqrt{x+4} \ge 0 \Rightarrow \sqrt{x+4} + 2 \ge 2 \Rightarrow y \ge 2$.

Теперь выразим $x$ из уравнения:

$y - 2 = \sqrt{x+4}$

Возведем обе части в квадрат. Так как $y \ge 2$, то $y-2 \ge 0$, и это преобразование является равносильным.

$(y-2)^2 = x+4$

$x = (y-2)^2 - 4$

Меняем местами $x$ и $y$:

$y = (x-2)^2 - 4$

Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной, то есть $x \ge 2$.

Ответ: $y = (x-2)^2 - 4$ при $x \ge 2$.

4) $y = x^2, x \in [1; +\infty)$

Исходная функция задана на промежутке $x \in [1; +\infty)$.

Найдем область значений на этом промежутке: если $x \ge 1$, то $y = x^2 \ge 1^2=1$. Итак, $y \in [1; +\infty)$.

Выразим $x$ из уравнения:

$x^2 = y$

$x = \pm\sqrt{y}$

Поскольку по условию $x \ge 1$, мы выбираем положительное значение корня:

$x = \sqrt{y}$

Меняем местами $x$ и $y$:

$y = \sqrt{x}$

Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной, то есть $x \ge 1$.

Ответ: $y = \sqrt{x}$ при $x \ge 1$.

5) $y = \frac{x}{2-x}$

Выразим $x$ из уравнения. Область определения исходной функции: $x \neq 2$.

$y(2-x) = x$

$2y - yx = x$

$2y = x + yx$

$2y = x(1+y)$

$x = \frac{2y}{1+y}$

Меняем местами $x$ и $y$:

$y = \frac{2x}{1+x}$

Ответ: $y = \frac{2x}{1+x}$