Номер 20, страница 111 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

20. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{3x}$;

2) $y = \sqrt{-\frac{2}{3}x}$.

1) $y = \sqrt{3x}$

Для построения графика этой функции необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть:

$3x \ge 0$

Отсюда следует, что $x \ge 0$.

Область определения функции: $D(y) = [0; +\infty)$. Это значит, что график будет расположен в правой полуплоскости (включая ось OY).

2. Найти область значений функции.

Поскольку квадратный корень всегда возвращает неотрицательное значение, то $y \ge 0$.

Область значений функции: $E(y) = [0; +\infty)$. График расположен в верхней полуплоскости (включая ось OX).

Следовательно, весь график находится в I координатной четверти.

3. Составить таблицу значений.

Выберем несколько удобных значений $x$ из области определения и вычислим соответствующие значения $y$.

4. Построить график.

Отметим на координатной плоскости точки (0; 0), (1/3; 1), (3; 3), (12; 6) и соединим их плавной кривой. График представляет собой ветвь параболы, которая "лежит на боку" и выходит из начала координат.

Ответ: График функции $y = \sqrt{3x}$ — это ветвь параболы, начинающаяся в точке (0, 0) и проходящая, например, через точки (1/3, 1) и (3, 3).

2) $y = \sqrt{-\frac{2}{3}x}$

Выполним аналогичные шаги для построения этого графика:

1. Найти область определения функции.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$-\frac{2}{3}x \ge 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$\frac{2}{3}x \le 0$

Отсюда $x \le 0$.

Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0]$. Это значит, что график будет расположен в левой полуплоскости (включая ось OY).

2. Найти область значений функции.

Как и в предыдущем случае, $y \ge 0$.

Область значений функции: $E(y) = [0; +\infty)$. График расположен в верхней полуплоскости (включая ось OX).

Следовательно, весь график находится во II координатной четверти.

3. Составить таблицу значений.

Выберем несколько удобных отрицательных значений $x$ и вычислим $y$.

4. Построить график.

Отметим на координатной плоскости точки (0; 0), (-1.5; 1), (-6; 2) и соединим их плавной кривой. График представляет собой ветвь параболы, симметричную графику из первого пункта относительно оси OY, выходящую из начала координат.

Ответ: График функции $y = \sqrt{-\frac{2}{3}x}$ — это ветвь параболы, начинающаяся в точке (0, 0) и проходящая, например, через точки (-1.5, 1) и (-6, 2).