Страница 111 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

17. На рисунке 23 изображён график функции $y = f(x)$.

Постройте график функции:

1) $y = f(x) + 3$;

2) $y = f(x + 1)$;

3) $y = -1 - f(x)$;

4) $y = f\left(-\frac{x}{3}\right)$.

Рис. 23

Для решения задачи сначала проанализируем исходный график функции $y=f(x)$, изображенный на рисунке.

Основные характеристики графика $y=f(x)$:

• Это график возрастающей функции.
• Область определения, показанная на рисунке: $D(f) = (-\infty, 0]$.
• График имеет горизонтальную асимптоту $y = -2$ при $x \to -\infty$.
• График проходит через контрольные точки с легко читаемыми координатами: $(0, 0)$, $(-1, -1)$, $(-2, -1.5)$.

Используя эти данные, мы можем построить графики требуемых функций с помощью геометрических преобразований.

1) $y = f(x) + 3$

Чтобы построить график функции $y = f(x) + 3$, необходимо сдвинуть график функции $y = f(x)$ на 3 единицы вверх вдоль оси ординат ($Oy$). Это преобразование изменяет ординату каждой точки графика, не меняя абсциссу: $(x, y) \rightarrow (x, y+3)$.

• Контрольная точка $(0, 0)$ переходит в точку $(0, 0+3)$, то есть $(0, 3)$.
• Контрольная точка $(-1, -1)$ переходит в точку $(-1, -1+3)$, то есть $(-1, 2)$.
• Контрольная точка $(-2, -1.5)$ переходит в точку $(-2, -1.5+3)$, то есть $(-2, 1.5)$.
• Горизонтальная асимптота $y = -2$ также сдвигается на 3 единицы вверх и становится $y = -2+3 = 1$.

Ответ: График функции $y=f(x)+3$ получается сдвигом исходного графика на 3 единицы вверх. Новый график проходит через точки $(0, 3)$, $(-1, 2)$, $(-2, 1.5)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=1$.

2) $y = f(x + 1)$

Чтобы построить график функции $y = f(x+1)$, необходимо сдвинуть график функции $y = f(x)$ на 1 единицу влево вдоль оси абсцисс ($Ox$). Это преобразование изменяет абсциссу каждой точки графика, не меняя ординату: $(x, y) \rightarrow (x-1, y)$.

• Контрольная точка $(0, 0)$ переходит в точку $(0-1, 0)$, то есть $(-1, 0)$.
• Контрольная точка $(-1, -1)$ переходит в точку $(-1-1, -1)$, то есть $(-2, -1)$.
• Контрольная точка $(-2, -1.5)$ переходит в точку $(-2-1, -1.5)$, то есть $(-3, -1.5)$.
• Горизонтальная асимптота $y = -2$ не изменяется при сдвиге по горизонтали.

Ответ: График функции $y=f(x+1)$ получается сдвигом исходного графика на 1 единицу влево. Новый график проходит через точки $(-1, 0)$, $(-2, -1)$, $(-3, -1.5)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=-2$.

3) $y = -1 - f(x)$

Построение графика функции $y = -f(x) - 1$ выполняется в два этапа:
1. Сначала строим график функции $y_1 = -f(x)$, который получается симметричным отражением графика $y=f(x)$ относительно оси абсцисс ($Ox$). Преобразование для точек: $(x, y) \rightarrow (x, -y)$.
2. Затем сдвигаем полученный график $y_1 = -f(x)$ на 1 единицу вниз вдоль оси ординат ($Oy$). Преобразование для точек: $(x, y_1) \rightarrow (x, y_1-1)$.

Применим эти преобразования последовательно:

• Точка $(0, 0) \rightarrow (0, -0) = (0, 0) \rightarrow (0, 0-1) = (0, -1)$.
• Точка $(-1, -1) \rightarrow (-1, -(-1)) = (-1, 1) \rightarrow (-1, 1-1) = (-1, 0)$.
• Точка $(-2, -1.5) \rightarrow (-2, -(-1.5)) = (-2, 1.5) \rightarrow (-2, 1.5-1) = (-2, 0.5)$.
• Асимптота $y = -2$ сначала отражается в $y = -(-2) = 2$, а затем сдвигается вниз в $y = 2-1 = 1$.

Так как исходная функция возрастала, после отражения относительно оси $Ox$ она станет убывающей.

Ответ: График функции $y=-1-f(x)$ является убывающей кривой. Он получен путем отражения исходного графика относительно оси $Ox$ и последующего сдвига на 1 единицу вниз. Новый график проходит через точки $(0, -1)$, $(-1, 0)$, $(-2, 0.5)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=1$.

4) $y = f(\frac{x}{3})$

Чтобы построить график функции $y = f(\frac{x}{3})$, необходимо растянуть график функции $y = f(x)$ в 3 раза вдоль оси абсцисс ($Ox$). Это преобразование умножает абсциссу каждой точки графика на 3, не меняя ординату: $(x, y) \rightarrow (3x, y)$.

• Контрольная точка $(0, 0)$ переходит в точку $(3 \cdot 0, 0)$, то есть $(0, 0)$.
• Контрольная точка $(-1, -1)$ переходит в точку $(3 \cdot (-1), -1)$, то есть $(-3, -1)$.
• Контрольная точка $(-2, -1.5)$ переходит в точку $(3 \cdot (-2), -1.5)$, то есть $(-6, -1.5)$.
• Горизонтальная асимптота $y = -2$ не изменяется при растяжении по горизонтали.

Ответ: График функции $y=f(\frac{x}{3})$ получается растяжением исходного графика в 3 раза вдоль оси $Ox$. Новый график проходит через точки $(0, 0)$, $(-3, -1)$, $(-6, -1.5)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=-2$.

18. Постройте график функции:

1) $y = \frac{12}{x}$;

2) $y = \frac{12}{x} - 2$;

3) $y = \frac{12}{x-3}$;

4) $y = \frac{12}{3-x}$;

5) $y = \frac{4x}{x-3}$.

19. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{x + 1};$

2) $y = \sqrt{x - 2};$

3) $y = \sqrt{x + 2} + 3;$

4) $y = 1 - \sqrt{x + 1};$

5) $y = 1 - \sqrt{-x + 1}.$

Для построения графиков всех указанных функций используется метод преобразования графика базовой функции $y = \sqrt{x}$. График функции $y = \sqrt{x}$ представляет собой верхнюю ветвь параболы $y^2=x$, выходящую из начала координат $(0,0)$ и проходящую через точки $(1,1)$, $(4,2)$, $(9,3)$.

График этой функции получается из графика $y = \sqrt{x}$ путем сдвига (параллельного переноса) на 1 единицу вверх вдоль оси ординат ($Oy$).

Область определения функции: $D(y) = [0; +\infty)$.
Область значений функции: поскольку $\sqrt{x} \ge 0$, то $y = \sqrt{x} + 1 \ge 1$. $E(y) = [1; +\infty)$.

Построение:

1. Строим график функции $y = \sqrt{x}$.
2. Сдвигаем каждую точку графика на 1 единицу вверх.

Начальная точка графика смещается из $(0,0)$ в точку $(0,1)$. Другие контрольные точки: $(1,2)$, $(4,3)$.

Ответ: График функции — это график $y=\sqrt{x}$, сдвинутый на 1 единицу вверх по оси $Oy$. Начало графика в точке $(0,1)$.

График этой функции получается из графика $y = \sqrt{x}$ путем сдвига на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс ($Ox$).

Область определения функции: $x - 2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$. $D(y) = [2; +\infty)$.
Область значений функции: $E(y) = [0; +\infty)$.

Построение:

1. Строим график функции $y = \sqrt{x}$.
2. Сдвигаем каждую точку графика на 2 единицы вправо.

Начальная точка графика смещается из $(0,0)$ в точку $(2,0)$. Другие контрольные точки: $(3,1)$ (соответствует точке $(1,1)$ на базовом графике), $(6,2)$ (соответствует точке $(4,2)$).

Ответ: График функции — это график $y=\sqrt{x}$, сдвинутый на 2 единицы вправо по оси $Ox$. Начало графика в точке $(2,0)$.

График этой функции получается из графика $y = \sqrt{x}$ путем двух последовательных сдвигов: на 2 единицы влево вдоль оси $Ox$ и на 3 единицы вверх вдоль оси $Oy$.

Область определения функции: $x + 2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$. $D(y) = [-2; +\infty)$.
Область значений функции: $\sqrt{x+2} \ge 0$, значит $y = \sqrt{x+2} + 3 \ge 3$. $E(y) = [3; +\infty)$.

Построение:

1. Строим график функции $y = \sqrt{x}$.
2. Сдвигаем его на 2 единицы влево, получая график $y = \sqrt{x+2}$.
3. Полученный график сдвигаем на 3 единицы вверх, получая искомый график $y = \sqrt{x+2} + 3$.

Начальная точка графика смещается из $(0,0)$ в точку $(-2,3)$. Другие контрольные точки: $(-1,4)$, $(2,5)$.

Ответ: График функции — это график $y=\sqrt{x}$, сдвинутый на 2 единицы влево по оси $Ox$ и на 3 единицы вверх по оси $Oy$. Начало графика в точке $(-2,3)$.

График данной функции можно получить из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$ с помощью последовательности преобразований. Перепишем уравнение в виде $y = -\sqrt{x + 1} + 1$.

Область определения функции: $x + 1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$. $D(y) = [-1; +\infty)$.
Область значений функции: поскольку $\sqrt{x + 1} \ge 0$, то $-\sqrt{x+1} \le 0$, и $y = 1 - \sqrt{x+1} \le 1$. $E(y) = (-\infty; 1]$.

Построение графика выполним в несколько шагов:

1. Строим график базовой функции $y = \sqrt{x}$.
2. Сдвигаем график на 1 единицу влево по оси $Ox$. Получаем график функции $y = \sqrt{x + 1}$.
3. Отражаем полученный график симметрично относительно оси $Ox$. Получаем график функции $y = -\sqrt{x + 1}$. Ветвь параболы теперь направлена вниз.
4. Сдвигаем последний график на 1 единицу вверх по оси $Oy$. Получаем искомый график $y = -\sqrt{x + 1} + 1$.

Начало (вершина) графика находится в точке $(-1, 1)$. Контрольные точки: при $x = 0$, $y = 1 - \sqrt{1} = 0$; при $x = 3$, $y = 1 - \sqrt{4} = -1$. График проходит через точки $(-1, 1)$, $(0, 0)$ и $(3, -1)$.

Ответ: График функции — это ветвь параболы, направленная вниз, с началом в точке $(-1, 1)$.

График этой функции также получается из графика $y = \sqrt{x}$ преобразованиями. Перепишем уравнение в виде $y = -\sqrt{-(x - 1)} + 1$.

Область определения функции: $-x + 1 \ge 0$, то есть $1 \ge x$. $D(y) = (-\infty; 1]$.
Область значений функции: $\sqrt{-x+1} \ge 0$, значит $-\sqrt{-x+1} \le 0$, и $y = 1 - \sqrt{-x+1} \le 1$. $E(y) = (-\infty; 1]$.

Построение графика:

1. Строим график базовой функции $y = \sqrt{x}$.
2. Отражаем его симметрично относительно оси $Oy$, получаем график $y = \sqrt{-x}$.
3. Сдвигаем полученный график на 1 единицу вправо по оси $Ox$, получаем $y = \sqrt{-(x-1)} = \sqrt{-x+1}$.
4. Отражаем последний график симметрично относительно оси $Ox$, получаем $y = -\sqrt{-x+1}$.
5. Сдвигаем этот график на 1 единицу вверх по оси $Oy$, получая искомый график $y = 1 - \sqrt{-x+1}$.

Начало (вершина) графика находится в точке $(1, 1)$. Контрольные точки: при $x=0$, $y=1-\sqrt{1}=0$; при $x=-3$, $y=1-\sqrt{-(-3)+1} = 1-\sqrt{4} = -1$. График проходит через точки $(1, 1)$, $(0, 0)$ и $(-3, -1)$.

Ответ: График функции — это ветвь параболы, направленная влево и вниз, с началом в точке $(1, 1)$.

20. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{3x}$;

2) $y = \sqrt{-\frac{2}{3}x}$.

1) $y = \sqrt{3x}$

Для построения графика этой функции необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть:

$3x \ge 0$

Отсюда следует, что $x \ge 0$.

Область определения функции: $D(y) = [0; +\infty)$. Это значит, что график будет расположен в правой полуплоскости (включая ось OY).

2. Найти область значений функции.

Поскольку квадратный корень всегда возвращает неотрицательное значение, то $y \ge 0$.

Область значений функции: $E(y) = [0; +\infty)$. График расположен в верхней полуплоскости (включая ось OX).

Следовательно, весь график находится в I координатной четверти.

3. Составить таблицу значений.

Выберем несколько удобных значений $x$ из области определения и вычислим соответствующие значения $y$.

4. Построить график.

Отметим на координатной плоскости точки (0; 0), (1/3; 1), (3; 3), (12; 6) и соединим их плавной кривой. График представляет собой ветвь параболы, которая "лежит на боку" и выходит из начала координат.

Ответ: График функции $y = \sqrt{3x}$ — это ветвь параболы, начинающаяся в точке (0, 0) и проходящая, например, через точки (1/3, 1) и (3, 3).

2) $y = \sqrt{-\frac{2}{3}x}$

Выполним аналогичные шаги для построения этого графика:

1. Найти область определения функции.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$-\frac{2}{3}x \ge 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$\frac{2}{3}x \le 0$

Отсюда $x \le 0$.

Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0]$. Это значит, что график будет расположен в левой полуплоскости (включая ось OY).

2. Найти область значений функции.

Как и в предыдущем случае, $y \ge 0$.

Область значений функции: $E(y) = [0; +\infty)$. График расположен в верхней полуплоскости (включая ось OX).

Следовательно, весь график находится во II координатной четверти.

3. Составить таблицу значений.

Выберем несколько удобных отрицательных значений $x$ и вычислим $y$.

4. Построить график.

Отметим на координатной плоскости точки (0; 0), (-1.5; 1), (-6; 2) и соединим их плавной кривой. График представляет собой ветвь параболы, симметричную графику из первого пункта относительно оси OY, выходящую из начала координат.

Ответ: График функции $y = \sqrt{-\frac{2}{3}x}$ — это ветвь параболы, начинающаяся в точке (0, 0) и проходящая, например, через точки (-1.5, 1) и (-6, 2).

21. Постройте график функции:

1) $y = (2x + 3)^2 - 1;$

2) $y = \left(\frac{1}{2}x + 3\right)^2 - 1.$

Графиком данной функции является парабола. Для её построения можно использовать преобразования графика базовой функции $y = x^2$ или найти её ключевые точки.

Способ 1: Преобразования графика

Преобразуем исходное уравнение, чтобы выделить стандартный вид $y = a(x - x_0)^2 + y_0$:
$y = (2x + 3)^2 - 1 = (2(x + \frac{3}{2}))^2 - 1 = 4(x + 1.5)^2 - 1$.

График этой функции можно получить из графика параболы $y = x^2$ следующими преобразованиями:

1. Растяжение вдоль оси OY в 4 раза: $y = 4x^2$.
2. Сдвиг влево на 1.5 единицы: $y = 4(x + 1.5)^2$.
3. Сдвиг вниз на 1 единицу: $y = 4(x + 1.5)^2 - 1$.

Способ 2: Построение по ключевым точкам

1. Вершина параболы. Из уравнения $y = 4(x + 1.5)^2 - 1$ видно, что координаты вершины параболы: $(x_0; y_0) = (-1.5; -1)$.

2. Ось симметрии. Вертикальная прямая, проходящая через вершину: $x = -1.5$.

3. Направление ветвей. Коэффициент при квадрате $a = 4 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

4. Точки пересечения с осями координат.

• С осью OY (абсцисса $x=0$):
  $y = (2 \cdot 0 + 3)^2 - 1 = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8$.
  Точка пересечения с OY: $(0; 8)$.
• С осью OX (ордината $y=0$):
  $0 = (2x + 3)^2 - 1$
  $(2x + 3)^2 = 1$
  $2x + 3 = 1$ или $2x + 3 = -1$
  $2x = -2$ или $2x = -4$
  $x_1 = -1$ или $x_2 = -2$
  Точки пересечения с OX: $(-1; 0)$ и $(-2; 0)$.

5. Дополнительные точки. Найдем точку, симметричную точке $(0; 8)$ относительно оси симметрии $x = -1.5$. Её абсцисса будет $x = -1.5 - 1.5 = -3$. Ордината останется той же. Получаем точку $(-3; 8)$.

Отметим найденные точки $(-1.5; -1)$, $(-1; 0)$, $(-2; 0)$, $(0; 8)$, $(-3; 8)$ на координатной плоскости и соединим их плавной линией.

Ответ: График функции $y = (2x + 3)^2 - 1$ — это парабола с вершиной в точке $(-1.5; -1)$, ветви которой направлены вверх. Парабола пересекает ось OY в точке $(0; 8)$ и ось OX в точках $(-1; 0)$ и $(-2; 0)$.

Графиком этой функции также является парабола. Построим её, найдя ключевые точки.

1. Преобразование уравнения. Приведём уравнение к виду $y = a(x - x_0)^2 + y_0$:
$y = (\frac{1}{2}x + 3)^2 - 1 = (\frac{1}{2}(x + 6))^2 - 1 = \frac{1}{4}(x + 6)^2 - 1$.

2. Вершина параболы. Из полученного уравнения находим координаты вершины: $(x_0; y_0) = (-6; -1)$.

3. Ось симметрии. Прямая $x = -6$.

4. Направление ветвей. Коэффициент $a = \frac{1}{4} > 0$, значит, ветви параболы направлены вверх. Парабола будет "шире", чем $y=x^2$.

5. Точки пересечения с осями координат.

• С осью OY (при $x=0$):
  $y = (\frac{1}{2} \cdot 0 + 3)^2 - 1 = 3^2 - 1 = 8$.
  Точка пересечения с OY: $(0; 8)$.
• С осью OX (при $y=0$):
  $0 = (\frac{1}{2}x + 3)^2 - 1$
  $(\frac{1}{2}x + 3)^2 = 1$
  $\frac{1}{2}x + 3 = 1$ или $\frac{1}{2}x + 3 = -1$
  $\frac{1}{2}x = -2$ или $\frac{1}{2}x = -4$
  $x_1 = -4$ или $x_2 = -8$
  Точки пересечения с OX: $(-4; 0)$ и $(-8; 0)$.

6. Дополнительные точки. Точка, симметричная точке $(0; 8)$ относительно оси $x = -6$, имеет абсциссу $x = -6 - 6 = -12$. Получаем точку $(-12; 8)$.

Отметим точки $(-6; -1)$, $(-4; 0)$, $(-8; 0)$, $(0; 8)$, $(-12; 8)$ на координатной плоскости и соединим их плавной кривой.

Ответ: График функции $y = (\frac{1}{2}x + 3)^2 - 1$ — это парабола с вершиной в точке $(-6; -1)$, ветви которой направлены вверх. Парабола пересекает ось OY в точке $(0; 8)$ и ось OX в точках $(-4; 0)$ и $(-8; 0)$.