Страница 109 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

6. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^2 - 4x + 2$ на промежутке:

1) $[-3; 1]$;

2) $[1; 3]$;

3) $[4; 6]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений квадратичной функции $y = x^2 - 4x + 2$ на заданных промежутках, сначала определим координаты вершины параболы. Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (1 > 0). Следовательно, в вершине параболы функция достигает своего наименьшего значения на всей области определения.

Координата x вершины параболы вычисляется по формуле $x_v = -b / (2a)$. В нашем случае $a=1$ и $b=-4$, поэтому:
$x_v = -(-4) / (2 \cdot 1) = 4 / 2 = 2$.
Координата y вершины (наименьшее значение функции):
$y_v = y(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 2 = 4 - 8 + 2 = -2$.
Итак, вершина параболы находится в точке $(2; -2)$.

Теперь рассмотрим каждый промежуток отдельно. Наибольшее и наименьшее значения на отрезке достигаются либо в вершине параболы (если она принадлежит отрезку), либо на его концах.

1) [-3; 1]

Вершина параболы $x_v = 2$ не принадлежит этому промежутку. Поскольку вершина находится правее промежутка ($2 > 1$), а ветви параболы направлены вверх, функция на отрезке $[-3; 1]$ монотонно убывает. Следовательно, наибольшее значение достигается на левом конце промежутка ($x = -3$), а наименьшее — на правом ($x = 1$).

Вычислим значения функции на концах промежутка:
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-3) = (-3)^2 - 4(-3) + 2 = 9 + 12 + 2 = 23$.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(1) = 1^2 - 4(1) + 2 = 1 - 4 + 2 = -1$.
Ответ: $y_{наим} = -1$, $y_{наиб} = 23$.

2) [1; 3]

Вершина параболы $x_v = 2$ принадлежит этому промежутку ($1 \le 2 \le 3$). Так как в вершине достигается минимум функции, то наименьшее значение на этом отрезке будет равно значению функции в вершине.
$y_{наим} = y(2) = -2$.

Наибольшее значение будет достигаться на одном из концов промежутка. Вычислим значения функции на концах и сравним их:
$y(1) = 1^2 - 4(1) + 2 = 1 - 4 + 2 = -1$.
$y(3) = 3^2 - 4(3) + 2 = 9 - 12 + 2 = -1$.
Наибольшее значение на отрезке равно -1.
Ответ: $y_{наим} = -2$, $y_{наиб} = -1$.

3) [4; 6]

Вершина параболы $x_v = 2$ не принадлежит этому промежутку. Поскольку вершина находится левее промежутка ($2 < 4$), а ветви параболы направлены вверх, функция на отрезке $[4; 6]$ монотонно возрастает. Следовательно, наименьшее значение достигается на левом конце промежутка ($x = 4$), а наибольшее — на правом ($x = 6$).

Вычислим значения функции на концах промежутка:
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(4) = 4^2 - 4(4) + 2 = 16 - 16 + 2 = 2$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(6) = 6^2 - 4(6) + 2 = 36 - 24 + 2 = 14$.
Ответ: $y_{наим} = 2$, $y_{наиб} = 14$.

7. Докажите, что является чётной функция:

1) $f(x) = 45$

2) $f(x) = -7x^6 + 2x^2 - 10$

3) $f(x) = \sqrt{x^2 - 7}$

4) $f(x) = \sqrt{11 - x} + \sqrt{11 + x}$

5) $f(x) = \frac{2x^2}{|x|} - 1$

6) $f(x) = \frac{|x + 5| - |x - 5|}{x}$

Функция $f(x)$ называется чётной, если для любого $x$ из её области определения $D(f)$ выполняются два условия:
1) Область определения $D(f)$ симметрична относительно нуля (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2) Для любого $x \in D(f)$ выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

1) $f(x) = 45$
1. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля.
2. Найдём значение функции в точке $-x$: $f(-x) = 45$.
Поскольку $f(x) = 45$ и $f(-x) = 45$, то $f(-x) = f(x)$. Оба условия выполняются, следовательно, функция является чётной.
Ответ: функция чётная.

2) $f(x) = -7x^6 + 2x^2 - 10$
1. Область определения данной полиномиальной функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля.
2. Найдём значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = -7(-x)^6 + 2(-x)^2 - 10$.
Так как $(-x)^{2n} = x^{2n}$ (любая чётная степень "поглощает" знак минус), получаем:
$f(-x) = -7x^6 + 2x^2 - 10$.
Таким образом, $f(-x) = f(x)$. Оба условия выполняются, значит, функция является чётной.
Ответ: функция чётная.

3) $f(x) = \sqrt{x^2 - 7}$
1. Найдём область определения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x^2 - 7 \ge 0 \implies x^2 \ge 7 \implies |x| \ge \sqrt{7}$.
Таким образом, $D(f) = (-\infty; -\sqrt{7}] \cup [\sqrt{7}; +\infty)$. Эта область определения симметрична относительно нуля.
2. Найдём значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = \sqrt{(-x)^2 - 7} = \sqrt{x^2 - 7}$.
Видим, что $f(-x) = f(x)$. Оба условия выполняются, следовательно, функция является чётной.
Ответ: функция чётная.

4) $f(x) = \sqrt{11 - x} + \sqrt{11 + x}$
1. Найдём область определения. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} 11 - x \ge 0 \\ 11 + x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 11 \\ x \ge -11 \end{cases}$.
Область определения $D(f) = [-11; 11]$. Этот промежуток симметричен относительно нуля.
2. Найдём значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = \sqrt{11 - (-x)} + \sqrt{11 + (-x)} = \sqrt{11 + x} + \sqrt{11 - x}$.
От перестановки слагаемых сумма не меняется, поэтому $f(-x) = \sqrt{11 - x} + \sqrt{11 + x} = f(x)$.
Оба условия выполняются, значит, функция чётная.
Ответ: функция чётная.

5) $f(x) = \frac{2x^2}{|x|} - 1$
1. Найдём область определения. Знаменатель не может быть равен нулю: $|x| \ne 0 \implies x \ne 0$.
Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.
2. Найдём значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = \frac{2(-x)^2}{|-x|} - 1$.
Используя свойства $(-x)^2 = x^2$ и $|-x| = |x|$, получаем:
$f(-x) = \frac{2x^2}{|x|} - 1 = f(x)$.
Оба условия выполняются, следовательно, функция является чётной.
Ответ: функция чётная.

6) $f(x) = \frac{|x+5| - |x-5|}{x}$
1. Найдём область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x \ne 0$.
Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.
2. Найдём значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = \frac{|(-x)+5| - |(-x)-5|}{-x} = \frac{|5-x| - |-x-5|}{-x}$.
Используя свойство модуля $|a| = |-a|$, имеем $|5-x| = |-(x-5)| = |x-5|$ и $|-x-5| = |-(x+5)| = |x+5|$.
Подставим это в выражение для $f(-x)$:
$f(-x) = \frac{|x-5| - |x+5|}{-x}$.
Вынесем знак минус из числителя:
$f(-x) = \frac{-(|x+5| - |x-5|)}{-x}$.
Сократим знаки минус в числителе и знаменателе:
$f(-x) = \frac{|x+5| - |x-5|}{x} = f(x)$.
Оба условия выполняются, следовательно, функция является чётной.
Ответ: функция чётная.

8. Докажите, что является нечётной функция:

1) $f(x) = -4x^3 + 2x;$

2) $f(x) = \frac{x^3 + 3x}{2x^2 + 1};$

3) $f(x) = \frac{4}{3 - 2x} - \frac{4}{3 + 2x};$

4) $f(x) = \sqrt{9 - x} - \sqrt{9 + x};$

5) $f(x) = 2x + \frac{x}{|x|};$

6) $f(x) = \frac{5x^2}{|x + 1| - |x - 1|}.$

Функция $f(x)$ называется нечётной, если для любого $x$ из её области определения $D(f)$ выполняются два условия:

1. Область определения симметрична относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Для любого $x \in D(f)$ выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Проверим эти условия для каждой из заданных функций.

1) $f(x) = -4x^3 + 2x$

1. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как это многочлен. Эта область симметрична относительно нуля.

2. Проверим выполнение равенства $f(-x) = -f(x)$:
$f(-x) = -4(-x)^3 + 2(-x) = -4(-x^3) - 2x = 4x^3 - 2x$.
$-f(x) = -(-4x^3 + 2x) = 4x^3 - 2x$.
Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) $f(x) = \frac{x^3 + 3x}{2x^2 + 1}$

1. Область определения $D(f)$: знаменатель дроби $2x^2 + 1 > 0$ при любых значениях $x$. Следовательно, $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Область определения симметрична относительно нуля.

2. Проверим выполнение равенства $f(-x) = -f(x)$:
$f(-x) = \frac{(-x)^3 + 3(-x)}{2(-x)^2 + 1} = \frac{-x^3 - 3x}{2x^2 + 1} = -\frac{x^3 + 3x}{2x^2 + 1}$.
$-f(x) = -\frac{x^3 + 3x}{2x^2 + 1}$.
Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: Что и требовалось доказать.

3) $f(x) = \frac{4}{3 - 2x} - \frac{4}{3 + 2x}$

1. Область определения $D(f)$: знаменатели не должны быть равны нулю. $3 - 2x \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{3}{2}$. $3 + 2x \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{3}{2}$. $D(f) = (-\infty; -1.5) \cup (-1.5; 1.5) \cup (1.5; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

2. Проверим выполнение равенства $f(-x) = -f(x)$:
$f(-x) = \frac{4}{3 - 2(-x)} - \frac{4}{3 + 2(-x)} = \frac{4}{3 + 2x} - \frac{4}{3 - 2x}$.
$-f(x) = -(\frac{4}{3 - 2x} - \frac{4}{3 + 2x}) = -\frac{4}{3 - 2x} + \frac{4}{3 + 2x} = \frac{4}{3 + 2x} - \frac{4}{3 - 2x}$.
Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: Что и требовалось доказать.

4) $f(x) = \sqrt{9 - x} - \sqrt{9 + x}$

1. Область определения $D(f)$: выражения под корнями должны быть неотрицательными. $\begin{cases} 9 - x \ge 0 \\ 9 + x \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \le 9 \\ x \ge -9 \end{cases}$. Таким образом, $D(f) = [-9; 9]$. Этот отрезок симметричен относительно нуля.

2. Проверим выполнение равенства $f(-x) = -f(x)$:
$f(-x) = \sqrt{9 - (-x)} - \sqrt{9 + (-x)} = \sqrt{9 + x} - \sqrt{9 - x}$.
$-f(x) = -(\sqrt{9 - x} - \sqrt{9 + x}) = -\sqrt{9 - x} + \sqrt{9 + x} = \sqrt{9 + x} - \sqrt{9 - x}$.
Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: Что и требовалось доказать.

5) $f(x) = 2x + \frac{x}{|x|}$

1. Область определения $D(f)$: знаменатель не должен быть равен нулю, т.е. $|x| \neq 0$, что означает $x \neq 0$. $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

2. Проверим выполнение равенства $f(-x) = -f(x)$:
$f(-x) = 2(-x) + \frac{-x}{|-x|}$. Так как $|-x| = |x|$, то $f(-x) = -2x - \frac{x}{|x|}$.
$-f(x) = -(2x + \frac{x}{|x|}) = -2x - \frac{x}{|x|}$.
Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: Что и требовалось доказать.

6) $f(x) = \frac{5x^2}{|x + 1| - |x - 1|}$

1. Область определения $D(f)$: знаменатель не должен быть равен нулю. $|x + 1| - |x - 1| \neq 0 \Rightarrow |x + 1| \neq |x - 1|$. Возведя обе части в квадрат, получим $(x + 1)^2 \neq (x - 1)^2$, что равносильно $x^2 + 2x + 1 \neq x^2 - 2x + 1$, или $4x \neq 0$, откуда $x \neq 0$. $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

2. Проверим выполнение равенства $f(-x) = -f(x)$:
$f(-x) = \frac{5(-x)^2}{|-x + 1| - |-x - 1|}$.
Используя свойство модуля $|a| = |-a|$, имеем $|-x + 1| = |x - 1|$ и $|-x - 1| = |x + 1|$. $f(-x) = \frac{5x^2}{|x - 1| - |x + 1|} = \frac{5x^2}{-(|x + 1| - |x - 1|)} = - \frac{5x^2}{|x + 1| - |x - 1|}$.
$-f(x) = - \frac{5x^2}{|x + 1| - |x - 1|}$.
Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: Что и требовалось доказать.

9. Исследуйте на чётность функцию:

1) $f(x) = -5x^8$;

2) $f(x) = 7x^2 + 6x - 8$;

3) $f(x) = x^8 - 7x^6 - 11$;

4) $f(x) = \frac{1}{x^3 + 9x}$;

5) $f(x) = \sqrt{3 - |x|}$;

6) $f(x) = (x + 4)^5 - (x - 4)^5$;

7) $f(x) = \frac{x^2 + 8x}{2x + 16}$;

8) $f(x) = (x - 8)(x + 6) + 2x$;

9) $f(x) = (x + 6)|x - 7| - (x - 6)|x + 7|$;

10) $f(x) = \frac{6x - 7}{x^2 + 4x + 16} - \frac{6x + 7}{x^2 - 4x + 16}$.

Для исследования функции $f(x)$ на чётность необходимо проверить два условия:

1. Область определения функции $D(f)$ должна быть симметрична относительно нуля.
2. Должно выполняться одно из равенств:
   • $f(-x) = f(x)$ – функция чётная.
   • $f(-x) = -f(x)$ – функция нечётная.

Если ни одно из равенств не выполняется, функция является ни чётной, ни нечётной (функцией общего вида).

1) $f(x) = -5x^8$

Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = -5(-x)^8 = -5x^8 = f(x)$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная.

2) $f(x) = 7x^2 + 6x - 8$

Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = 7(-x)^2 + 6(-x) - 8 = 7x^2 - 6x - 8$.

Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:

$f(-x) = 7x^2 - 6x - 8 \neq f(x) = 7x^2 + 6x - 8$

$f(-x) = 7x^2 - 6x - 8 \neq -f(x) = -7x^2 - 6x + 8$

Функция является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: ни чётная, ни нечётная.

3) $f(x) = x^8 - 7x^6 - 11$

Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = (-x)^8 - 7(-x)^6 - 11 = x^8 - 7x^6 - 11 = f(x)$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная.

4) $f(x) = \frac{1}{x^3 + 9x}$

Найдем область определения: $x^3 + 9x \neq 0 \Rightarrow x(x^2 + 9) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$.

$D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, область симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \frac{1}{(-x)^3 + 9(-x)} = \frac{1}{-x^3 - 9x} = \frac{1}{-(x^3 + 9x)} = -\frac{1}{x^3 + 9x} = -f(x)$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: нечётная.

5) $f(x) = \sqrt{3 - |x|}$

Найдем область определения: $3 - |x| \ge 0 \Rightarrow |x| \le 3 \Rightarrow -3 \le x \le 3$.

$D(f) = [-3; 3]$, область симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \sqrt{3 - |-x|} = \sqrt{3 - |x|} = f(x)$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная.

6) $f(x) = (x + 4)^5 - (x - 4)^5$

Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = (-x + 4)^5 - (-x - 4)^5 = (-(x - 4))^5 - (-(x + 4))^5 = -(x - 4)^5 - (-(x + 4)^5) = -(x - 4)^5 + (x + 4)^5 = (x + 4)^5 - (x - 4)^5 = f(x)$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная.

7) $f(x) = \frac{x^2 + 8x}{2x + 16}$

Найдем область определения: $2x + 16 \neq 0 \Rightarrow 2x \neq -16 \Rightarrow x \neq -8$.

$D(f) = (-\infty; -8) \cup (-8; +\infty)$.

Область определения не является симметричной относительно нуля (например, точка $x=8$ принадлежит области определения, а точка $x=-8$ не принадлежит). Следовательно, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: ни чётная, ни нечётная.

8) $f(x) = (x - 8)(x + 6) + 2x$

Упростим выражение: $f(x) = x^2 + 6x - 8x - 48 + 2x = x^2 - 48$.

Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = (-x)^2 - 48 = x^2 - 48 = f(x)$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная.

9) $f(x) = (x + 6)|x - 7| - (x - 6)|x + 7|$

Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = (-x + 6)|-x - 7| - (-x - 6)|-x + 7|$.

Используя свойство модуля $|-a| = |a|$, получаем: $|-x - 7| = |-(x+7)| = |x+7|$ и $|-x + 7| = |-(x-7)| = |x-7|$.

$f(-x) = (-x + 6)|x + 7| - (-(x + 6))|x - 7| = -(x - 6)|x + 7| + (x + 6)|x - 7| = (x + 6)|x - 7| - (x - 6)|x + 7| = f(x)$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная.

10) $f(x) = \frac{6x - 7}{x^2 + 4x + 16} - \frac{6x + 7}{x^2 - 4x + 16}$

Найдем область определения. Дискриминант знаменателей $x^2 + 4x + 16$ и $x^2 - 4x + 16$ отрицателен ($D = 16 - 4 \cdot 16 = -48 < 0$), поэтому знаменатели никогда не равны нулю. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \frac{6(-x) - 7}{(-x)^2 + 4(-x) + 16} - \frac{6(-x) + 7}{(-x)^2 - 4(-x) + 16} = \frac{-6x - 7}{x^2 - 4x + 16} - \frac{-6x + 7}{x^2 + 4x + 16}$.

$f(-x) = -\frac{6x + 7}{x^2 - 4x + 16} - (-\frac{6x - 7}{x^2 + 4x + 16}) = -\frac{6x + 7}{x^2 - 4x + 16} + \frac{6x - 7}{x^2 + 4x + 16}$.

Поменяв слагаемые местами, получаем: $f(-x) = \frac{6x - 7}{x^2 + 4x + 16} - \frac{6x + 7}{x^2 - 4x + 16} = f(x)$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная.