Страница 105 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

303. Найдите точки максимума и минимума функции:

1) $f(x) = -3x^8;$

2) $f(x) = x^2 + 12x;$

3) $f(x) = x^3 - 27x + 4;$

4) $f(x) = -x^4 - 8x^3 + 14x^2 + 17.$

1) f(x) = -3x⁸

Для нахождения точек максимума и минимума функции, необходимо найти ее производную, приравнять ее к нулю, чтобы найти критические точки, а затем исследовать знак производной в окрестности этих точек.

1. Найдем производную функции $f(x) = -3x^8$:

$f'(x) = (-3x^8)' = -3 \cdot 8x^{8-1} = -24x^7$.

2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$-24x^7 = 0$

$x = 0$.

3. Исследуем знак производной на интервалах, на которые числовая ось разбивается критической точкой $x=0$.

- При $x < 0$ (например, $x = -1$), $f'(-1) = -24(-1)^7 = -24(-1) = 24 > 0$. Функция возрастает.

- При $x > 0$ (например, $x = 1$), $f'(1) = -24(1)^7 = -24 < 0$. Функция убывает.

Поскольку в точке $x=0$ производная меняет знак с «+» на «-», эта точка является точкой максимума. Точек минимума у функции нет.

Ответ: $x_{\text{max}} = 0$.

2) f(x) = x² + 12x

1. Найдем производную функции $f(x) = x^2 + 12x$:

$f'(x) = (x^2 + 12x)' = 2x + 12$.

2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$2x + 12 = 0$

$2x = -12$

$x = -6$.

3. Исследуем знак производной на интервалах, на которые числовая ось разбивается критической точкой $x=-6$.

- При $x < -6$ (например, $x = -7$), $f'(-7) = 2(-7) + 12 = -14 + 12 = -2 < 0$. Функция убывает.

- При $x > -6$ (например, $x = 0$), $f'(0) = 2(0) + 12 = 12 > 0$. Функция возрастает.

Поскольку в точке $x=-6$ производная меняет знак с «-» на «+», эта точка является точкой минимума. Точек максимума у функции нет.

Ответ: $x_{\text{min}} = -6$.

3) f(x) = x³ - 27x + 4

1. Найдем производную функции $f(x) = x^3 - 27x + 4$:

$f'(x) = (x^3 - 27x + 4)' = 3x^2 - 27$.

2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$3x^2 - 27 = 0$

$3x^2 = 27$

$x^2 = 9$

$x_1 = -3$, $x_2 = 3$.

3. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; -3)$, $(-3; 3)$ и $(3; +\infty)$.

- При $x < -3$ (например, $x = -4$), $f'(-4) = 3(-4)^2 - 27 = 3 \cdot 16 - 27 = 48 - 27 = 21 > 0$. Функция возрастает.

- При $x \in (-3; 3)$ (например, $x = 0$), $f'(0) = 3(0)^2 - 27 = -27 < 0$. Функция убывает.

- При $x > 3$ (например, $x = 4$), $f'(4) = 3(4)^2 - 27 = 3 \cdot 16 - 27 = 48 - 27 = 21 > 0$. Функция возрастает.

В точке $x=-3$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка максимума.

В точке $x=3$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка минимума.

Ответ: $x_{\text{max}} = -3$, $x_{\text{min}} = 3$.

4) f(x) = -x⁴ - 8x³ + 14x² + 17

1. Найдем производную функции $f(x) = -x^4 - 8x^3 + 14x^2 + 17$:

$f'(x) = (-x^4 - 8x^3 + 14x^2 + 17)' = -4x^3 - 24x^2 + 28x$.

2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$-4x^3 - 24x^2 + 28x = 0$

Вынесем общий множитель $-4x$ за скобки:

$-4x(x^2 + 6x - 7) = 0$

Отсюда либо $-4x = 0 \Rightarrow x_1 = 0$, либо $x^2 + 6x - 7 = 0$.

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_2 = 1$ и $x_3 = -7$.

Таким образом, критические точки: $x = -7$, $x = 0$, $x = 1$.

3. Исследуем знак производной $f'(x) = -4x(x-1)(x+7)$ на интервалах $(-\infty; -7)$, $(-7; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$.

- При $x < -7$ (например, $x = -8$), $f'(-8) = -4(-8)(-8-1)(-8+7) = 32(-9)(-1) = 288 > 0$. Функция возрастает.

- При $x \in (-7; 0)$ (например, $x = -1$), $f'(-1) = -4(-1)(-1-1)(-1+7) = 4(-2)(6) = -48 < 0$. Функция убывает.

- При $x \in (0; 1)$ (например, $x = 0.5$), $f'(0.5) = -4(0.5)(0.5-1)(0.5+7) = -2(-0.5)(7.5) = 7.5 > 0$. Функция возрастает.

- При $x > 1$ (например, $x = 2$), $f'(2) = -4(2)(2-1)(2+7) = -8(1)(9) = -72 < 0$. Функция убывает.

Анализируем смену знаков производной в критических точках:

- В точке $x=-7$ знак меняется с «+» на «-», значит, это точка максимума.

- В точке $x=0$ знак меняется с «-» на «+», значит, это точка минимума.

- В точке $x=1$ знак меняется с «+» на «-», значит, это точка максимума.

Ответ: $x_{\text{min}} = 0$, $x_{\text{max}} = -7$, $x_{\text{max}} = 1$.

304. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x)=-x^8+4x^7+8$;

2) $f(x)=(x+5)^2(x-4)^2$.

1) Для нахождения промежутков возрастания и убывания, а также точек экстремума функции $f(x) = -x^8 + 4x^7 + 8$, необходимо исследовать ее производную.
Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как это многочлен.
Находим производную функции:
$f'(x) = (-x^8 + 4x^7 + 8)' = -8x^7 + 28x^6$.
Далее находим критические точки, приравнивая производную к нулю:
$f'(x) = 0 \implies -8x^7 + 28x^6 = 0$.
Вынесем за скобки общий множитель $-4x^6$:
$-4x^6(2x - 7) = 0$.
Отсюда получаем корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3.5$. Это стационарные точки.
Определим знаки производной на интервалах, на которые эти точки делят числовую ось: $(-\infty; 0)$, $(0; 3.5)$ и $(3.5; +\infty)$.
- На интервале $(-\infty; 0)$: возьмем $x=-1$, $f'(-1) = -4(-1)^6(2(-1) - 7) = -4(1)(-9) = 36 > 0$. Следовательно, функция возрастает.
- На интервале $(0; 3.5)$: возьмем $x=1$, $f'(1) = -4(1)^6(2(1) - 7) = -4(1)(-5) = 20 > 0$. Следовательно, функция возрастает.
- На интервале $(3.5; +\infty)$: возьмем $x=4$, $f'(4) = -4(4)^6(2(4) - 7) = -4(4096)(1) < 0$. Следовательно, функция убывает.
Поскольку функция непрерывна, а производная положительна на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; 3.5)$, то функция возрастает на всем промежутке $(-\infty; 3.5]$.
Промежуток убывания: $[3.5; +\infty)$.
В точке $x=3.5$ производная меняет знак с «+» на «-», поэтому это точка максимума.
В точке $x=0$ производная не меняет знак, поэтому $x=0$ не является точкой экстремума.
Ответ: промежуток возрастания $(-\infty; 3.5]$, промежуток убывания $[3.5; +\infty)$, точка максимума $x_{max} = 3.5$.

2) Для функции $f(x) = (x+5)^2(x-4)^2$ найдем промежутки монотонности и точки экстремума.
Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
Для нахождения производной удобно представить функцию в виде $f(x) = ((x+5)(x-4))^2 = (x^2+x-20)^2$.
Используем правило дифференцирования сложной функции:
$f'(x) = 2(x^2+x-20) \cdot (x^2+x-20)' = 2(x^2+x-20)(2x+1)$.
Разложив квадратный трехчлен на множители, получаем:
$f'(x) = 2(x+5)(x-4)(2x+1)$.
Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$2(x+5)(x-4)(2x+1) = 0$.
Критические точки: $x_1 = -5$, $x_2 = 4$, $x_3 = -0.5$.
Определим знаки производной на интервалах: $(-\infty; -5)$, $(-5; -0.5)$, $(-0.5; 4)$ и $(4; +\infty)$.
- На интервале $(-\infty; -5)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
- На интервале $(-5; -0.5)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(-0.5; 4)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
- На интервале $(4; +\infty)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.
Таким образом, промежутки возрастания функции: $[-5; -0.5]$ и $[4; +\infty)$.
Промежутки убывания функции: $(-\infty; -5]$ и $[-0.5; 4]$.
В точке $x=-5$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка минимума.
В точке $x=-0.5$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка максимума.
В точке $x=4$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка минимума.
Ответ: промежутки возрастания $[-5; -0.5]$ и $[4; +\infty)$, промежутки убывания $(-\infty; -5]$ и $[-0.5; 4]$, точки минимума $x_{min}=-5$ и $x_{min}=4$, точка максимума $x_{max}=-0.5$.

305. Определите, имеет ли данная функция точки экстремума:

1) $f(x) = -4x^5$;

2) $f(x) = \sqrt[6]{x^5}$;

3) $f(x) = \sqrt[3]{x^2}$;

4) $f(x) = \sin x + x$.

Для определения наличия точек экстремума у функции необходимо найти её производную и критические точки (точки, в которых производная равна нулю или не существует). Затем нужно исследовать знак производной в окрестностях этих точек. Если при переходе через критическую точку производная меняет знак, то в этой точке функция имеет экстремум.

1) $f(x) = -4x^5$

Найдём производную функции:
$f'(x) = (-4x^5)' = -4 \cdot 5x^4 = -20x^4$.
Найдём критические точки, приравняв производную к нулю:
$-20x^4 = 0$
$x = 0$.
Производная существует на всей числовой оси. Таким образом, у нас есть одна критическая точка $x=0$.
Определим знак производной слева и справа от точки $x=0$.
Поскольку $x^4 \ge 0$ для любого $x$, то $f'(x) = -20x^4 \le 0$ для всех $x$.
При $x < 0$, $f'(x) < 0$.
При $x > 0$, $f'(x) < 0$.
Так как производная не меняет знак при переходе через точку $x=0$, то в этой точке нет экстремума. Функция является монотонно убывающей на всей области определения.

Ответ: функция не имеет точек экстремума.

2) $f(x) = \sqrt[6]{x^5}$

Область определения функции: $x^5 \ge 0$, что означает $x \ge 0$. Таким образом, $D(f) = [0, +\infty)$.
Представим функцию в виде $f(x) = x^{5/6}$. Найдём производную функции для $x > 0$:
$f'(x) = (x^{5/6})' = \frac{5}{6}x^{5/6-1} = \frac{5}{6}x^{-1/6} = \frac{5}{6\sqrt[6]{x}}$.
Производная $f'(x)$ нигде не равна нулю. Однако производная не существует в точке $x=0$, которая является граничной точкой области определения. Эта точка является критической.
Для всех $x > 0$ (т.е. на всей области определения, где производная существует), $f'(x) = \frac{5}{6\sqrt[6]{x}} > 0$.
Это означает, что функция возрастает на всём промежутке $[0, +\infty)$.
В точке $x=0$ функция принимает наименьшее значение $f(0)=0$. Таким образом, точка $x=0$ является точкой минимума.

Ответ: функция имеет точку экстремума (минимум в точке $x=0$).

3) $f(x) = \sqrt[3]{x^2}$

Область определения функции: $D(f) = (-\infty, +\infty)$, так как корень нечетной степени определён для любого действительного числа.
Представим функцию в виде $f(x) = x^{2/3}$. Найдём производную функции:
$f'(x) = (x^{2/3})' = \frac{2}{3}x^{2/3-1} = \frac{2}{3}x^{-1/3} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$.
Производная не равна нулю ни в одной точке. Производная не существует при $x=0$. Следовательно, $x=0$ — критическая точка.
Определим знак производной слева и справа от точки $x=0$.
При $x > 0$, $\sqrt[3]{x} > 0$, значит $f'(x) > 0$ (функция возрастает).
При $x < 0$, $\sqrt[3]{x} < 0$, значит $f'(x) < 0$ (функция убывает).
При переходе через точку $x=0$ производная меняет знак с «−» на «+». Следовательно, $x=0$ является точкой минимума.

Ответ: функция имеет точку экстремума (минимум в точке $x=0$).

4) $f(x) = \sin x + x$

Область определения функции: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.
Найдём производную функции:
$f'(x) = (\sin x + x)' = \cos x + 1$.
Найдём критические точки, приравняв производную к нулю:
$\cos x + 1 = 0$
$\cos x = -1$
$x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Производная существует на всей числовой оси. Критические точки — это $x = \pi + 2\pi k$.
Исследуем знак производной. Так как $-1 \le \cos x \le 1$ для любого $x$, то $0 \le \cos x + 1 \le 2$.
Это означает, что производная $f'(x) \ge 0$ для всех $x$. Она равна нулю только в критических точках, а во всех остальных точках положительна.
Поскольку производная не меняет знак (она всегда неотрицательна), функция является монотонно возрастающей на всей числовой оси. Следовательно, у функции нет точек экстремума.

Ответ: функция не имеет точек экстремума.

306. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x)=\frac{3x+5}{x-4}$;

2) $f(x)=\frac{x^2+5}{2-x}$;

3) $f(x)=\frac{x^3}{x^2+2}$;

4) $f(x)=\frac{x^2-6x}{x+2}$.

Для нахождения промежутков возрастания и убывания, а также точек экстремума функции, необходимо найти ее производную, приравнять ее к нулю, чтобы найти критические точки, а затем исследовать знак производной на интервалах, на которые область определения разбивается критическими точками и точками разрыва.

Дана функция $f(x) = \frac{3x + 5}{x - 4}$.

1. Область определения функции.
Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $x - 4 \neq 0$, следовательно, $x \neq 4$.
$D(f) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

2. Нахождение производной.
Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$f'(x) = \frac{(3x + 5)'(x - 4) - (3x + 5)(x - 4)'}{(x - 4)^2} = \frac{3(x - 4) - (3x + 5) \cdot 1}{(x - 4)^2} = \frac{3x - 12 - 3x - 5}{(x - 4)^2} = -\frac{17}{(x - 4)^2}$.

3. Нахождение критических точек.
Критические точки - это точки из области определения, в которых производная равна нулю или не существует.

• $f'(x) = 0 \Rightarrow -\frac{17}{(x - 4)^2} = 0$. Уравнение не имеет решений, так как числитель не равен нулю.
• Производная не существует при $x=4$, но эта точка не входит в область определения функции.

Следовательно, у функции нет критических точек.

4. Анализ знака производной.
$f'(x) = -\frac{17}{(x - 4)^2}$. Знаменатель $(x - 4)^2$ всегда положителен для всех $x$ из области определения. Числитель $-17$ отрицателен. Таким образом, $f'(x) < 0$ на всей области определения.

5. Промежутки монотонности и экстремумы.

• Поскольку $f'(x) < 0$ при $x \in (-\infty; 4)$ и $x \in (4; +\infty)$, функция убывает на этих промежутках.
• Так как у функции нет критических точек, у нее нет и точек экстремума.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; 4)$ и $(4; +\infty)$; точек экстремума нет.

Дана функция $f(x) = \frac{x^2 + 5}{2 - x}$.

1. Область определения функции.
$2 - x \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$.
$D(f) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Нахождение производной.
$f'(x) = \frac{(x^2 + 5)'(2 - x) - (x^2 + 5)(2 - x)'}{(2 - x)^2} = \frac{2x(2 - x) - (x^2 + 5)(-1)}{(2 - x)^2} = \frac{4x - 2x^2 + x^2 + 5}{(2 - x)^2} = \frac{-x^2 + 4x + 5}{(2 - x)^2}$.

3. Нахождение критических точек.
Приравняем производную к нулю: $f'(x) = 0$.
$\frac{-x^2 + 4x + 5}{(2 - x)^2} = 0 \Rightarrow -x^2 + 4x + 5 = 0 \Rightarrow x^2 - 4x - 5 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 5$, $x_2 = -1$.
Обе точки входят в область определения функции и являются критическими.

4. Анализ знака производной.
Знаменатель $(2 - x)^2$ всегда положителен. Знак $f'(x)$ определяется знаком числителя $-x^2 + 4x + 5$. График этой квадратичной функции — парабола, ветви которой направлены вниз.

• На интервале $(-\infty; -1)$: $f'(x) < 0$.
• На интервале $(-1; 2)$: $f'(x) > 0$.
• На интервале $(2; 5)$: $f'(x) > 0$.
• На интервале $(5; +\infty)$: $f'(x) < 0$.

5. Промежутки монотонности и экстремумы.

• Функция возрастает, где $f'(x) > 0$: на промежутках $[-1; 2)$ и $(2; 5]$.
• Функция убывает, где $f'(x) < 0$: на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[5; +\infty)$.
• В точке $x = -1$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка минимума: $x_{min} = -1$.
• В точке $x = 5$ производная меняет знак с «+» на «–», следовательно, это точка максимума: $x_{max} = 5$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-1; 2)$ и $(2; 5]$; убывает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[5; +\infty)$; $x_{min} = -1$, $x_{max} = 5$.

Дана функция $f(x) = \frac{x^3}{x^2 + 2}$.

1. Область определения функции.
Знаменатель $x^2 + 2 > 0$ при любых значениях $x$.
$D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Нахождение производной.
$f'(x) = \frac{(x^3)'(x^2 + 2) - x^3(x^2 + 2)'}{(x^2 + 2)^2} = \frac{3x^2(x^2 + 2) - x^3(2x)}{(x^2 + 2)^2} = \frac{3x^4 + 6x^2 - 2x^4}{(x^2 + 2)^2} = \frac{x^4 + 6x^2}{(x^2 + 2)^2}$.

3. Нахождение критических точек.
$f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{x^4 + 6x^2}{(x^2 + 2)^2} = 0 \Rightarrow x^4 + 6x^2 = 0 \Rightarrow x^2(x^2 + 6) = 0$.
Отсюда $x^2 = 0$ (то есть $x=0$) или $x^2 + 6 = 0$ (нет действительных корней).
Единственная критическая точка: $x=0$.

4. Анализ знака производной.
$f'(x) = \frac{x^2(x^2 + 6)}{(x^2 + 2)^2}$. Все множители в числителе и знаменателе неотрицательны: $x^2 \ge 0$, $x^2 + 6 > 0$, $(x^2 + 2)^2 > 0$.
Следовательно, $f'(x) \ge 0$ для всех $x$. Производная равна нулю только в точке $x = 0$.

5. Промежутки монотонности и экстремумы.

• Поскольку $f'(x) > 0$ для всех $x \neq 0$ и $f'(0)=0$, функция возрастает на всей числовой оси $(-\infty; +\infty)$.
• Так как производная не меняет знак в точке $x=0$, экстремума в этой точке нет.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$; точек экстремума нет.

Дана функция $f(x) = \frac{x^2 - 6x}{x + 2}$.

1. Область определения функции.
$x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$.
$D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

2. Нахождение производной.
$f'(x) = \frac{(x^2 - 6x)'(x + 2) - (x^2 - 6x)(x + 2)'}{(x + 2)^2} = \frac{(2x - 6)(x + 2) - (x^2 - 6x)}{(x + 2)^2} = \frac{2x^2 + 4x - 6x - 12 - x^2 + 6x}{(x + 2)^2} = \frac{x^2 + 4x - 12}{(x + 2)^2}$.

3. Нахождение критических точек.
$f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{x^2 + 4x - 12}{(x + 2)^2} = 0 \Rightarrow x^2 + 4x - 12 = 0$.
По теореме Виета, корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -6$.
Обе точки входят в область определения и являются критическими.

4. Анализ знака производной.
Знаменатель $(x + 2)^2$ всегда положителен. Знак $f'(x)$ определяется знаком числителя $x^2 + 4x - 12$. График этой функции — парабола с ветвями вверх.

• На интервале $(-\infty; -6)$: $f'(x) > 0$.
• На интервале $(-6; -2)$: $f'(x) < 0$.
• На интервале $(-2; 2)$: $f'(x) < 0$.
• На интервале $(2; +\infty)$: $f'(x) > 0$.

5. Промежутки монотонности и экстремумы.

• Функция возрастает, где $f'(x) > 0$: на промежутках $(-\infty; -6]$ и $[2; +\infty)$.
• Функция убывает, где $f'(x) < 0$: на промежутках $[-6; -2)$ и $(-2; 2]$.
• В точке $x = -6$ производная меняет знак с «+» на «–», следовательно, это точка максимума: $x_{max} = -6$.
• В точке $x = 2$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка минимума: $x_{min} = 2$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -6]$ и $[2; +\infty)$; убывает на промежутках $[-6; -2)$ и $(-2; 2]$; $x_{max} = -6$, $x_{min} = 2$.

307. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x) = x^2\sqrt{3-x};$

2) $f(x) = \cos4x - 2\sqrt{2x}$

1) $f(x) = x^2\sqrt{3-x}$

Решение:

1. Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$3-x \ge 0 \implies x \le 3$.
Область определения $D(f) = (-\infty; 3]$.

2. Найдем производную функции, используя правило произведения $(uv)' = u'v + uv'$:
$f'(x) = (x^2)'\sqrt{3-x} + x^2(\sqrt{3-x})' = 2x\sqrt{3-x} + x^2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{3-x}} \cdot (-1) = 2x\sqrt{3-x} - \frac{x^2}{2\sqrt{3-x}}$.

Приведем производную к общему знаменателю:
$f'(x) = \frac{2x\sqrt{3-x} \cdot 2\sqrt{3-x} - x^2}{2\sqrt{3-x}} = \frac{4x(3-x) - x^2}{2\sqrt{3-x}} = \frac{12x - 4x^2 - x^2}{2\sqrt{3-x}} = \frac{12x - 5x^2}{2\sqrt{3-x}}$.

3. Найдем критические точки. Это точки, в которых производная равна нулю или не существует.
Производная не существует при $x=3$ (знаменатель равен нулю). Эта точка является концом области определения.
Приравняем производную к нулю:
$f'(x) = 0 \implies 12x - 5x^2 = 0 \implies x(12 - 5x) = 0$.
Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{12}{5} = 2.4$. Обе точки принадлежат области определения.

4. Определим знаки производной на интервалах, на которые критические точки делят область определения $(-\infty; 3]$.
Интервалы: $(-\infty; 0)$, $(0; 2.4)$, $(2.4; 3)$.
Знаменатель $2\sqrt{3-x}$ положителен на всей области определения производной, поэтому знак $f'(x)$ совпадает со знаком числителя $12x - 5x^2 = -5x(x - 2.4)$.
- На интервале $(-\infty; 0)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
- На интервале $(0; 2.4)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(2.4; 3)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.

5. Найдем точки экстремума.
- В точке $x = 0$ производная меняет знак с "-" на "+", следовательно, это точка локального минимума: $x_{min} = 0$.
- В точке $x = 2.4$ производная меняет знак с "+" на "-", следовательно, это точка локального максимума: $x_{max} = 2.4$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0; 2.4]$, убывает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[2.4; 3]$. Точка минимума $x_{min} = 0$, точка максимума $x_{max} = 2.4$.

2) $f(x) = \cos(4x) - 2\sqrt{2}x$

Решение:

1. Область определения функции - все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (\cos(4x))' - (2\sqrt{2}x)' = -\sin(4x) \cdot 4 - 2\sqrt{2} = -4\sin(4x) - 2\sqrt{2}$.

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$f'(x) = 0 \implies -4\sin(4x) - 2\sqrt{2} = 0 \implies -4\sin(4x) = 2\sqrt{2} \implies \sin(4x) = -\frac{2\sqrt{2}}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решим тригонометрическое уравнение. Оно распадается на две серии решений:
$4x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \implies x = -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$.
$4x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \implies x = \frac{5\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$.

4. Определим интервалы возрастания и убывания. Знак производной зависит от знака выражения $-4\sin(4x) - 2\sqrt{2}$.
- Функция возрастает, когда $f'(x) > 0$:
$-4\sin(4x) - 2\sqrt{2} > 0 \implies -4\sin(4x) > 2\sqrt{2} \implies \sin(4x) < -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Это неравенство выполняется, когда $4x \in (\frac{5\pi}{4} + 2\pi n; \frac{7\pi}{4} + 2\pi n), \quad n \in \mathbb{Z}$.
Следовательно, $x \in (\frac{5\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}; \frac{7\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}), \quad n \in \mathbb{Z}$.
- Функция убывает, когда $f'(x) < 0$:
$-4\sin(4x) - 2\sqrt{2} < 0 \implies \sin(4x) > -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Это неравенство выполняется, когда $4x \in (-\frac{\pi}{4} + 2\pi n; \frac{5\pi}{4} + 2\pi n), \quad n \in \mathbb{Z}$.
Следовательно, $x \in (-\frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}; \frac{5\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}), \quad n \in \mathbb{Z}$.

5. Найдем точки экстремума.
- В точках $x = \frac{5\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}$ производная меняет знак с "-" на "+", следовательно, это точки минимума.
- В точках $x = -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}$ (которые также можно записать как $x = \frac{7\pi}{16} + \frac{\pi(n-1)}{2}$) производная меняет знак с "+" на "-", следовательно, это точки максимума.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[\frac{5\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}; \frac{7\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}]$, убывает на промежутках $[-\frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}; \frac{5\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}]$, где $n \in \mathbb{Z}$. Точки минимума $x_{min} = \frac{5\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}$, точки максимума $x_{max} = -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

308. Найдите, при каких значениях a функция

$f(x) = \cos^2 x + (4a - 3)x$

1) не имеет критических точек;

2) не имеет точек экстремума.

Данная функция $f(x) = \cos^2 x + (4a-3)x$. Для нахождения критических точек и точек экстремума необходимо найти производную функции. Критические точки – это точки из области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует. Точки экстремума – это критические точки, в которых производная меняет знак.

Найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = (\cos^2 x + (4a-3)x)' = (\cos^2 x)' + ((4a-3)x)'$ Используя правило дифференцирования сложной функции для первого слагаемого и правило дифференцирования линейной функции для второго, получаем: $f'(x) = 2\cos x \cdot (-\sin x) + (4a-3) = -2\sin x \cos x + 4a - 3$ Применяя формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $, упрощаем выражение: $f'(x) = -\sin(2x) + 4a - 3$

Функция $f'(x)$ определена для всех действительных значений $x$, поэтому критическими точками будут только те точки, в которых производная равна нулю. $f'(x) = 0 \implies -\sin(2x) + 4a - 3 = 0$ $\sin(2x) = 4a - 3$

1) не имеет критических точек;

Функция не будет иметь критических точек, если уравнение $\sin(2x) = 4a - 3$ не имеет решений. Мы знаем, что область значений функции синус – это отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin(2x) \le 1$. Следовательно, уравнение не будет иметь решений, если правая часть этого уравнения будет находиться вне этого отрезка.

Это приводит к совокупности двух неравенств: $4a - 3 < -1$ или $4a - 3 > 1$

Решим первое неравенство: $4a - 3 < -1$ $4a < -1 + 3$ $4a < 2$ $a < \frac{2}{4}$ $a < \frac{1}{2}$

Решим второе неравенство: $4a - 3 > 1$ $4a > 1 + 3$ $4a > 4$ $a > 1$

Таким образом, функция не имеет критических точек при $a \in (-\infty; \frac{1}{2}) \cup (1; +\infty)$.

Ответ: $a \in (-\infty; \frac{1}{2}) \cup (1; +\infty)$

2) не имеет точек экстремума.

Функция не имеет точек экстремума, если ее производная $f'(x)$ не меняет знак. Это означает, что производная должна быть либо всегда неотрицательной ($f'(x) \ge 0$ для всех $x$), либо всегда неположительной ($f'(x) \le 0$ для всех $x$).

Рассмотрим первый случай: $f'(x) \ge 0$ для всех $x$. $-\sin(2x) + 4a - 3 \ge 0$ $4a - 3 \ge \sin(2x)$ Это неравенство должно выполняться для любого значения $x$. Поскольку наибольшее значение $\sin(2x)$ равно 1, левая часть должна быть больше или равна этому значению. $4a - 3 \ge 1$ $4a \ge 4$ $a \ge 1$

Рассмотрим второй случай: $f'(x) \le 0$ для всех $x$. $-\sin(2x) + 4a - 3 \le 0$ $4a - 3 \le \sin(2x)$ Это неравенство должно выполняться для любого значения $x$. Поскольку наименьшее значение $\sin(2x)$ равно -1, левая часть должна быть меньше или равна этому значению. $4a - 3 \le -1$ $4a \le 2$ $a \le \frac{1}{2}$

Объединяя оба случая, получаем, что функция не имеет точек экстремума, если $a \le \frac{1}{2}$ или $a \ge 1$. В граничных случаях ($a=\frac{1}{2}$ и $a=1$) производная обращается в ноль в некоторых точках, но не меняет знак, поэтому эти точки являются точками перегиба, а не точками экстремума.

Ответ: $a \in (-\infty; \frac{1}{2}] \cup [1; +\infty)$