Номер 306, страница 105 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

306. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x)=\frac{3x+5}{x-4}$;

2) $f(x)=\frac{x^2+5}{2-x}$;

3) $f(x)=\frac{x^3}{x^2+2}$;

4) $f(x)=\frac{x^2-6x}{x+2}$.

Для нахождения промежутков возрастания и убывания, а также точек экстремума функции, необходимо найти ее производную, приравнять ее к нулю, чтобы найти критические точки, а затем исследовать знак производной на интервалах, на которые область определения разбивается критическими точками и точками разрыва.

Дана функция $f(x) = \frac{3x + 5}{x - 4}$.

1. Область определения функции.
Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $x - 4 \neq 0$, следовательно, $x \neq 4$.
$D(f) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

2. Нахождение производной.
Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$f'(x) = \frac{(3x + 5)'(x - 4) - (3x + 5)(x - 4)'}{(x - 4)^2} = \frac{3(x - 4) - (3x + 5) \cdot 1}{(x - 4)^2} = \frac{3x - 12 - 3x - 5}{(x - 4)^2} = -\frac{17}{(x - 4)^2}$.

3. Нахождение критических точек.
Критические точки - это точки из области определения, в которых производная равна нулю или не существует.

• $f'(x) = 0 \Rightarrow -\frac{17}{(x - 4)^2} = 0$. Уравнение не имеет решений, так как числитель не равен нулю.
• Производная не существует при $x=4$, но эта точка не входит в область определения функции.

Следовательно, у функции нет критических точек.

4. Анализ знака производной.
$f'(x) = -\frac{17}{(x - 4)^2}$. Знаменатель $(x - 4)^2$ всегда положителен для всех $x$ из области определения. Числитель $-17$ отрицателен. Таким образом, $f'(x) < 0$ на всей области определения.

5. Промежутки монотонности и экстремумы.

• Поскольку $f'(x) < 0$ при $x \in (-\infty; 4)$ и $x \in (4; +\infty)$, функция убывает на этих промежутках.
• Так как у функции нет критических точек, у нее нет и точек экстремума.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; 4)$ и $(4; +\infty)$; точек экстремума нет.

Дана функция $f(x) = \frac{x^2 + 5}{2 - x}$.

1. Область определения функции.
$2 - x \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$.
$D(f) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Нахождение производной.
$f'(x) = \frac{(x^2 + 5)'(2 - x) - (x^2 + 5)(2 - x)'}{(2 - x)^2} = \frac{2x(2 - x) - (x^2 + 5)(-1)}{(2 - x)^2} = \frac{4x - 2x^2 + x^2 + 5}{(2 - x)^2} = \frac{-x^2 + 4x + 5}{(2 - x)^2}$.

3. Нахождение критических точек.
Приравняем производную к нулю: $f'(x) = 0$.
$\frac{-x^2 + 4x + 5}{(2 - x)^2} = 0 \Rightarrow -x^2 + 4x + 5 = 0 \Rightarrow x^2 - 4x - 5 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 5$, $x_2 = -1$.
Обе точки входят в область определения функции и являются критическими.

4. Анализ знака производной.
Знаменатель $(2 - x)^2$ всегда положителен. Знак $f'(x)$ определяется знаком числителя $-x^2 + 4x + 5$. График этой квадратичной функции — парабола, ветви которой направлены вниз.

• На интервале $(-\infty; -1)$: $f'(x) < 0$.
• На интервале $(-1; 2)$: $f'(x) > 0$.
• На интервале $(2; 5)$: $f'(x) > 0$.
• На интервале $(5; +\infty)$: $f'(x) < 0$.

5. Промежутки монотонности и экстремумы.

• Функция возрастает, где $f'(x) > 0$: на промежутках $[-1; 2)$ и $(2; 5]$.
• Функция убывает, где $f'(x) < 0$: на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[5; +\infty)$.
• В точке $x = -1$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка минимума: $x_{min} = -1$.
• В точке $x = 5$ производная меняет знак с «+» на «–», следовательно, это точка максимума: $x_{max} = 5$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-1; 2)$ и $(2; 5]$; убывает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[5; +\infty)$; $x_{min} = -1$, $x_{max} = 5$.

Дана функция $f(x) = \frac{x^3}{x^2 + 2}$.

1. Область определения функции.
Знаменатель $x^2 + 2 > 0$ при любых значениях $x$.
$D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Нахождение производной.
$f'(x) = \frac{(x^3)'(x^2 + 2) - x^3(x^2 + 2)'}{(x^2 + 2)^2} = \frac{3x^2(x^2 + 2) - x^3(2x)}{(x^2 + 2)^2} = \frac{3x^4 + 6x^2 - 2x^4}{(x^2 + 2)^2} = \frac{x^4 + 6x^2}{(x^2 + 2)^2}$.

3. Нахождение критических точек.
$f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{x^4 + 6x^2}{(x^2 + 2)^2} = 0 \Rightarrow x^4 + 6x^2 = 0 \Rightarrow x^2(x^2 + 6) = 0$.
Отсюда $x^2 = 0$ (то есть $x=0$) или $x^2 + 6 = 0$ (нет действительных корней).
Единственная критическая точка: $x=0$.

4. Анализ знака производной.
$f'(x) = \frac{x^2(x^2 + 6)}{(x^2 + 2)^2}$. Все множители в числителе и знаменателе неотрицательны: $x^2 \ge 0$, $x^2 + 6 > 0$, $(x^2 + 2)^2 > 0$.
Следовательно, $f'(x) \ge 0$ для всех $x$. Производная равна нулю только в точке $x = 0$.

5. Промежутки монотонности и экстремумы.

• Поскольку $f'(x) > 0$ для всех $x \neq 0$ и $f'(0)=0$, функция возрастает на всей числовой оси $(-\infty; +\infty)$.
• Так как производная не меняет знак в точке $x=0$, экстремума в этой точке нет.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$; точек экстремума нет.

Дана функция $f(x) = \frac{x^2 - 6x}{x + 2}$.

1. Область определения функции.
$x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$.
$D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

2. Нахождение производной.
$f'(x) = \frac{(x^2 - 6x)'(x + 2) - (x^2 - 6x)(x + 2)'}{(x + 2)^2} = \frac{(2x - 6)(x + 2) - (x^2 - 6x)}{(x + 2)^2} = \frac{2x^2 + 4x - 6x - 12 - x^2 + 6x}{(x + 2)^2} = \frac{x^2 + 4x - 12}{(x + 2)^2}$.

3. Нахождение критических точек.
$f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{x^2 + 4x - 12}{(x + 2)^2} = 0 \Rightarrow x^2 + 4x - 12 = 0$.
По теореме Виета, корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -6$.
Обе точки входят в область определения и являются критическими.

4. Анализ знака производной.
Знаменатель $(x + 2)^2$ всегда положителен. Знак $f'(x)$ определяется знаком числителя $x^2 + 4x - 12$. График этой функции — парабола с ветвями вверх.

• На интервале $(-\infty; -6)$: $f'(x) > 0$.
• На интервале $(-6; -2)$: $f'(x) < 0$.
• На интервале $(-2; 2)$: $f'(x) < 0$.
• На интервале $(2; +\infty)$: $f'(x) > 0$.

5. Промежутки монотонности и экстремумы.

• Функция возрастает, где $f'(x) > 0$: на промежутках $(-\infty; -6]$ и $[2; +\infty)$.
• Функция убывает, где $f'(x) < 0$: на промежутках $[-6; -2)$ и $(-2; 2]$.
• В точке $x = -6$ производная меняет знак с «+» на «–», следовательно, это точка максимума: $x_{max} = -6$.
• В точке $x = 2$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка минимума: $x_{min} = 2$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -6]$ и $[2; +\infty)$; убывает на промежутках $[-6; -2)$ и $(-2; 2]$; $x_{max} = -6$, $x_{min} = 2$.