Номер 300, страница 104 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

300. Докажите, что функция $f(x) = 6 - 6x + 3x^2 - 2x^3$ является убывающей.

Для того чтобы доказать, что функция $f(x) = 6 - 6x + 3x^2 - 2x^3$ является убывающей на всей своей области определения, достаточно доказать, что ее производная $f'(x)$ неположительна (то есть $f'(x) \leq 0$) для всех действительных значений $x$.

Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел ($x \in \mathbb{R}$), так как это многочлен.

Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (6 - 6x + 3x^2 - 2x^3)' = (6)' - (6x)' + (3x^2)' - (2x^3)'$
$f'(x) = 0 - 6 \cdot 1 + 3 \cdot 2x - 2 \cdot 3x^2 = -6 + 6x - 6x^2$

Итак, мы получили производную: $f'(x) = -6x^2 + 6x - 6$.

Теперь необходимо исследовать знак этой производной. Выражение $f'(x)$ представляет собой квадратичную функцию. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, так как старший коэффициент $a = -6$ отрицателен.

Чтобы определить, пересекает ли парабола ось абсцисс (ось Ox), найдем дискриминант квадратного трехчлена $-6x^2 + 6x - 6$:
$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot (-6) \cdot (-6) = 36 - 144 = -108$.

Поскольку дискриминант $D = -108 < 0$, квадратный трехчлен не имеет действительных корней. Это означает, что график функции $f'(x)$ не пересекает ось Ox. Так как ветви параболы направлены вниз, весь график целиком лежит ниже оси Ox. Следовательно, значение производной $f'(x)$ всегда отрицательно при любом $x$.

Это можно также показать, выделив полный квадрат:
$f'(x) = -6x^2 + 6x - 6 = -6(x^2 - x + 1) = -6(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 + 1)$
$f'(x) = -6 \left( (x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} \right)$
Выражение в скобках $(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$ всегда положительно, так как $(x - \frac{1}{2})^2 \geq 0$, и значит $(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4} > 0$.
Таким образом, $f'(x)$ является произведением отрицательного числа (-6) на строго положительное выражение, а значит, $f'(x) < 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Поскольку производная функции $f'(x)$ строго отрицательна на всей области определения, функция $f(x)$ является строго убывающей, а значит, и убывающей на всей числовой прямой. Что и требовалось доказать.
Ответ: производная функции $f'(x) = -6x^2 + 6x - 6$ отрицательна для всех действительных $x$, следовательно, функция $f(x) = 6 - 6x + 3x^2 - 2x^3$ является убывающей.