Номер 295, страница 103 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

295. Вычислите площадь треугольника, образованного осями координат и касательной к графику функции $f(x) = x^3 + x^2 - 2x + 3$ в точке с абсциссой $x_0 = -1$.

Для того чтобы вычислить площадь треугольника, образованного осями координат и касательной, нам необходимо выполнить следующие шаги:
1. Найти уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$.
2. Найти точки пересечения этой касательной с осями координат ($Ox$ и $Oy$).
3. Вычислить площадь прямоугольного треугольника, образованного этими точками и началом координат.

1. Составление уравнения касательной

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

В нашем случае дана функция $f(x) = x^3 + x^2 - 2x + 3$ и $x_0 = -1$.

Найдем значение функции в точке $x_0$:

$f(-1) = (-1)^3 + (-1)^2 - 2(-1) + 3 = -1 + 1 + 2 + 3 = 5$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^3 + x^2 - 2x + 3)' = 3x^2 + 2x - 2$.

Найдем значение производной в точке $x_0$, которое является угловым коэффициентом касательной:

$f'(-1) = 3(-1)^2 + 2(-1) - 2 = 3(1) - 2 - 2 = 3 - 4 = -1$.

Теперь подставим найденные значения $f(-1) = 5$ и $f'(-1) = -1$ в уравнение касательной:

$y = 5 + (-1)(x - (-1))$

$y = 5 - (x + 1)$

$y = 5 - x - 1$

$y = -x + 4$.

2. Нахождение точек пересечения с осями координат

Прямая $y = -x + 4$ пересекает оси координат.
Найдем точку пересечения с осью ординат ($Oy$), подставив $x = 0$:

$y = -0 + 4 \implies y = 4$. Точка пересечения: $(0, 4)$.

Найдем точку пересечения с осью абсцисс ($Ox$), подставив $y = 0$:

$0 = -x + 4 \implies x = 4$. Точка пересечения: $(4, 0)$.

3. Вычисление площади треугольника

Касательная и оси координат образуют прямоугольный треугольник с вершинами в точках $(0, 0)$, $(4, 0)$ и $(0, 4)$.

Длины катетов этого треугольника равны отрезкам, отсекаемым касательной на осях координат, то есть $a = 4$ и $b = 4$.

Площадь $S$ прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = \frac{16}{2} = 8$.

Ответ: 8.