Номер 292, страница 103 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

292. Найдите такую точку графика функции $f(x) = \sqrt{3x^3 - 5}$, что проведённая в этой точке касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол $\alpha = \frac{\pi}{3}$.

Для нахождения точки графика функции, в которой касательная образует заданный угол с положительным направлением оси абсцисс, необходимо использовать геометрический смысл производной. Значение производной функции в точке касания $x_0$ равно тангенсу угла наклона касательной, то есть $f'(x_0) = \tan(\alpha)$.

1. Найдем тангенс заданного угла $\alpha = \frac{\pi}{3}$:

$k = \tan(\alpha) = \tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.

Это и есть угловой коэффициент касательной, который мы ищем.

2. Теперь найдем производную функции $f(x) = \sqrt{3x^3 - 5}$.

Используем правило дифференцирования сложной функции. Пусть $u(x) = 3x^3 - 5$, тогда $f(x) = \sqrt{u}$.

$f'(x) = (\sqrt{u})' \cdot u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u'(x)$.

Найдем $u'(x)$:

$u'(x) = (3x^3 - 5)' = 3 \cdot 3x^2 - 0 = 9x^2$.

Подставим все в формулу производной:

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{3x^3 - 5}} \cdot 9x^2 = \frac{9x^2}{2\sqrt{3x^3 - 5}}$.

Область определения производной задается условием $3x^3 - 5 > 0$, то есть $x > \sqrt[3]{\frac{5}{3}}$.

3. Приравняем значение производной к найденному угловому коэффициенту $k = \sqrt{3}$ и решим уравнение относительно $x$:

$\frac{9x^2}{2\sqrt{3x^3 - 5}} = \sqrt{3}$.

Умножим обе части на знаменатель:

$9x^2 = 2\sqrt{3}\sqrt{3x^3 - 5}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

$(9x^2)^2 = (2\sqrt{3}\sqrt{3x^3 - 5})^2$

$81x^4 = (2\sqrt{3})^2 (3x^3 - 5)$

$81x^4 = 12(3x^3 - 5)$

$81x^4 = 36x^3 - 60$

Перенесем все члены в левую часть:

$81x^4 - 36x^3 + 60 = 0$.

Разделим все уравнение на 3 для упрощения:

$27x^4 - 12x^3 + 20 = 0$.

4. Исследуем полученное уравнение на наличие действительных корней. Рассмотрим функцию $g(x) = 27x^4 - 12x^3 + 20$. Чтобы найти ее наименьшее значение, найдем ее производную и приравняем к нулю:

$g'(x) = (27x^4 - 12x^3 + 20)' = 108x^3 - 36x^2$.

$108x^3 - 36x^2 = 0$

$36x^2(3x - 1) = 0$.

Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{1}{3}$.

Найдем значения функции $g(x)$ в этих точках:

$g(0) = 27(0)^4 - 12(0)^3 + 20 = 20$.

$g(\frac{1}{3}) = 27(\frac{1}{3})^4 - 12(\frac{1}{3})^3 + 20 = 27(\frac{1}{81}) - 12(\frac{1}{27}) + 20 = \frac{1}{3} - \frac{4}{9} + 20 = \frac{3}{9} - \frac{4}{9} + 20 = -\frac{1}{9} + 20 = 19\frac{8}{9}$.

В точке $x=\frac{1}{3}$ находится точка минимума функции $g(x)$, и ее наименьшее значение равно $19\frac{8}{9}$. Поскольку наименьшее значение функции $g(x)$ строго положительно ($19\frac{8}{9} > 0$), функция $g(x)$ никогда не обращается в ноль. Это означает, что уравнение $27x^4 - 12x^3 + 20 = 0$ не имеет действительных корней.

Таким образом, не существует такого значения $x$, при котором касательная к графику функции $f(x) = \sqrt{3x^3 - 5}$ образовывала бы угол $\frac{\pi}{3}$ с положительным направлением оси абсцисс. Вероятно, в условии задачи имеется опечатка.

Ответ: Таких точек не существует.