Номер 290, страница 103 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

290. Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x) = \frac{x+1}{3-x^2}$ в точке его пересечения с осью абсцисс.

Общий вид уравнения касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ выглядит следующим образом:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Найдем точку касания, то есть точку пересечения графика с осью абсцисс.
2. Найдем производную функции $f(x)$.
3. Вычислим значение производной в точке касания, чтобы найти угловой коэффициент касательной.
4. Подставим все найденные значения в уравнение касательной.

1. Нахождение точки касания

Точка пересечения графика функции с осью абсцисс — это точка, в которой значение функции равно нулю, то есть $f(x) = 0$.

$\frac{x+1}{3-x^2} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
Приравняем числитель к нулю:
$x + 1 = 0 \implies x_0 = -1$

Проверим, что знаменатель не равен нулю при $x_0 = -1$:
$3 - x_0^2 = 3 - (-1)^2 = 3 - 1 = 2 \neq 0$

Таким образом, абсцисса точки касания $x_0 = -1$. Ордината точки касания $y_0 = f(x_0) = 0$.
Точка касания: $(-1, 0)$.

2. Нахождение производной

Найдем производную функции $f(x) = \frac{x+1}{3-x^2}$, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = x+1$ и $v(x) = 3-x^2$. Тогда $u'(x) = 1$ и $v'(x) = -2x$.

$f'(x) = \frac{(x+1)'(3-x^2) - (x+1)(3-x^2)'}{(3-x^2)^2} = \frac{1 \cdot (3-x^2) - (x+1)(-2x)}{(3-x^2)^2}$

Упростим выражение в числителе:
$3 - x^2 - (-2x^2 - 2x) = 3 - x^2 + 2x^2 + 2x = x^2 + 2x + 3$

Таким образом, производная равна:
$f'(x) = \frac{x^2 + 2x + 3}{(3-x^2)^2}$

3. Вычисление углового коэффициента

Угловой коэффициент касательной $k$ равен значению производной в точке касания $x_0 = -1$.

$k = f'(-1) = \frac{(-1)^2 + 2(-1) + 3}{(3-(-1)^2)^2} = \frac{1 - 2 + 3}{(3-1)^2} = \frac{2}{2^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

4. Составление уравнения касательной

Подставим значения $x_0 = -1$, $f(x_0) = 0$ и $f'(x_0) = \frac{1}{2}$ в общую формулу уравнения касательной:

$y = 0 + \frac{1}{2}(x - (-1))$

$y = \frac{1}{2}(x+1)$

$y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$

Ответ: $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$.