Номер 285, страница 102 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

285. Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$:

1) $f(x) = \sin^3 2x, x_0 = \frac{\pi}{12}$;

2) $f(x) = \sqrt{5x^2-2x}, x_0 = 2.$

Угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$, равен значению производной этой функции в данной точке. То есть, искомый коэффициент $k$ равен $f'(x_0)$.

Сначала найдём производную функции $f(x)$. Это сложная функция, поэтому применим правило дифференцирования сложной функции (цепное правило):

$f'(x) = (\sin^3 2x)' = 3\sin^2 2x \cdot (\sin 2x)'$

Производная от $\sin 2x$ также является производной сложной функции:

$(\sin 2x)' = \cos 2x \cdot (2x)' = 2\cos 2x$

Подставим полученное выражение обратно в производную $f'(x)$:

$f'(x) = 3\sin^2 2x \cdot 2\cos 2x = 6\sin^2 2x \cos 2x$

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{12}$:

$k = f'(\frac{\pi}{12}) = 6\sin^2(2 \cdot \frac{\pi}{12}) \cos(2 \cdot \frac{\pi}{12}) = 6\sin^2(\frac{\pi}{6}) \cos(\frac{\pi}{6})$

Зная, что $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, подставляем эти значения:

$k = 6 \cdot (\frac{1}{2})^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{8} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{4}$.

Найдём производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции для корня $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$:

$f'(x) = (\sqrt{5x^2 - 2x})' = \frac{1}{2\sqrt{5x^2 - 2x}} \cdot (5x^2 - 2x)'$

Найдём производную подкоренного выражения:

$(5x^2 - 2x)' = 10x - 2$

Подставим это в выражение для $f'(x)$ и упростим:

$f'(x) = \frac{10x - 2}{2\sqrt{5x^2 - 2x}} = \frac{2(5x - 1)}{2\sqrt{5x^2 - 2x}} = \frac{5x - 1}{\sqrt{5x^2 - 2x}}$

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$:

$k = f'(2) = \frac{5 \cdot 2 - 1}{\sqrt{5 \cdot 2^2 - 2 \cdot 2}} = \frac{10 - 1}{\sqrt{5 \cdot 4 - 4}} = \frac{9}{\sqrt{20 - 4}} = \frac{9}{\sqrt{16}} = \frac{9}{4}$

Ответ: $\frac{9}{4}$.