Номер 291, страница 103 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

291. Найдите уравнения горизонтальных касательных к графику функции $f(x) = x^4 - 10x^2 - 6$.

Горизонтальная касательная к графику функции имеет угловой коэффициент (тангенс угла наклона), равный нулю. Угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен значению производной функции $f'(x_0)$ в этой точке. Следовательно, чтобы найти точки, в которых касательная горизонтальна, необходимо найти значения $x$, для которых производная $f'(x)$ равна нулю.

1. Нахождение производной функции

Дана функция $f(x) = x^4 - 10x^2 - 6$.

Найдем ее производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = (x^4 - 10x^2 - 6)' = 4x^{4-1} - 10 \cdot 2x^{2-1} - 0 = 4x^3 - 20x$.

2. Нахождение точек, в которых производная равна нулю

Приравняем производную к нулю, чтобы найти абсциссы точек касания:

$f'(x) = 0$

$4x^3 - 20x = 0$

Вынесем за скобки общий множитель $4x$:

$4x(x^2 - 5) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два уравнения:

$4x = 0 \quad \text{или} \quad x^2 - 5 = 0$

Решая их, находим абсциссы точек касания:

$x_1 = 0$

$x^2 = 5 \implies x_{2,3} = \pm\sqrt{5}$

Таким образом, график функции имеет горизонтальные касательные в трех точках с абсциссами $x = 0$, $x = \sqrt{5}$ и $x = -\sqrt{5}$.

3. Нахождение уравнений касательных

Уравнение горизонтальной прямой имеет вид $y = c$, где $c$ - это ордината точки касания, равная значению функции $f(x)$ в этой точке.

Найдем ординаты для каждой из найденных абсцисс, подставляя их в исходную функцию $f(x)$:

Для $x_1 = 0$:

$y_1 = f(0) = 0^4 - 10 \cdot 0^2 - 6 = -6$.

Уравнение первой горизонтальной касательной: $y = -6$.

Для $x_2 = \sqrt{5}$:

$y_2 = f(\sqrt{5}) = (\sqrt{5})^4 - 10(\sqrt{5})^2 - 6 = 25 - 10 \cdot 5 - 6 = 25 - 50 - 6 = -31$.

Для $x_3 = -\sqrt{5}$:

$y_3 = f(-\sqrt{5}) = (-\sqrt{5})^4 - 10(-\sqrt{5})^2 - 6 = 25 - 10 \cdot 5 - 6 = 25 - 50 - 6 = -31$.

Поскольку для $x = \sqrt{5}$ и $x = -\sqrt{5}$ ординаты точек касания одинаковы ($y = -31$), они лежат на одной и той же горизонтальной прямой. Таким образом, у графика функции есть две различные горизонтальные касательные.

Уравнение второй горизонтальной касательной: $y = -31$.

Ответ: $y = -6, y = -31$.