Номер 297, страница 103 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

297. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = \frac{2x+5}{x-3}$

2) $f(x) = x + \frac{3}{x}$

3) $f(x) = \frac{x^2+2x}{4x-1}$

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, необходимо исследовать знак её производной.

1. Найдём область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x-3 \neq 0$, то есть $x \neq 3$. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Найдём производную функции по правилу дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$f'(x) = \left(\frac{2x+5}{x-3}\right)' = \frac{(2x+5)'(x-3) - (2x+5)(x-3)'}{(x-3)^2} = \frac{2(x-3) - (2x+5) \cdot 1}{(x-3)^2} = \frac{2x - 6 - 2x - 5}{(x-3)^2} = \frac{-11}{(x-3)^2}$.

3. Определим знак производной. Числитель производной $(-11)$ является отрицательным числом. Знаменатель $(x-3)^2$ всегда положителен при любом $x$ из области определения (т.е. при $x \neq 3$).

Следовательно, $f'(x) = \frac{-11}{(x-3)^2} < 0$ для всех $x$ из области определения функции.

4. Так как производная функции отрицательна на всей области определения, функция убывает на каждом из интервалов этой области.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; 3)$ и $(3; +\infty)$, промежутков возрастания нет.

1. Найдём область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. Область определения: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Найдём производную функции:

$f'(x) = (x + \frac{3}{x})' = (x + 3x^{-1})' = 1 - 3x^{-2} = 1 - \frac{3}{x^2}$.

3. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю:

$f'(x) = 0 \implies 1 - \frac{3}{x^2} = 0 \implies 1 = \frac{3}{x^2} \implies x^2 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3}$.

Критические точки $x = -\sqrt{3}$ и $x = \sqrt{3}$ и точка разрыва $x=0$ разбивают область определения на интервалы: $(-\infty; -\sqrt{3})$, $(-\sqrt{3}; 0)$, $(0; \sqrt{3})$ и $(\sqrt{3}; +\infty)$.

4. Определим знак производной $f'(x) = 1 - \frac{3}{x^2} = \frac{x^2 - 3}{x^2}$ на каждом интервале. Так как знаменатель $x^2$ всегда положителен (при $x \neq 0$), знак производной зависит от знака числителя $x^2 - 3$.

- На интервале $(-\infty; -\sqrt{3})$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.

- На интервале $(-\sqrt{3}; 0)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.

- На интервале $(0; \sqrt{3})$: $f'(x) < 0$, функция убывает.

- На интервале $(\sqrt{3}; +\infty)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -\sqrt{3}]$ и $[\sqrt{3}; +\infty)$, убывает на промежутках $[-\sqrt{3}; 0)$ и $(0; \sqrt{3}]$.

1. Найдём область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $4x-1 \neq 0$, то есть $x \neq \frac{1}{4}$. Область определения: $D(f) = (-\infty; \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4}; +\infty)$.

2. Найдём производную функции по правилу дифференцирования частного:

$f'(x) = \frac{(x^2+2x)'(4x-1) - (x^2+2x)(4x-1)'}{(4x-1)^2} = \frac{(2x+2)(4x-1) - (x^2+2x) \cdot 4}{(4x-1)^2}$

$f'(x) = \frac{8x^2 - 2x + 8x - 2 - 4x^2 - 8x}{(4x-1)^2} = \frac{4x^2 - 2x - 2}{(4x-1)^2} = \frac{2(2x^2 - x - 1)}{(4x-1)^2}$.

3. Найдём критические точки, приравняв числитель производной к нулю:

$2x^2 - x - 1 = 0$.

Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.

Корни: $x_1 = \frac{1 - \sqrt{9}}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{1 + \sqrt{9}}{4} = \frac{4}{4} = 1$.

Критические точки $x = -\frac{1}{2}$ и $x = 1$ и точка разрыва $x=\frac{1}{4}$ разбивают область определения на интервалы: $(-\infty; -\frac{1}{2})$, $(-\frac{1}{2}; \frac{1}{4})$, $(\frac{1}{4}; 1)$ и $(1; +\infty)$.

4. Определим знак производной на каждом интервале. Знак $f'(x)$ совпадает со знаком числителя $2(2x^2 - x - 1)$, так как знаменатель $(4x-1)^2$ всегда положителен (при $x \neq \frac{1}{4}$). График параболы $y=2x^2-x-1$ имеет ветви вверх и пересекает ось абсцисс в точках $-\frac{1}{2}$ и $1$.

- На интервале $(-\infty; -\frac{1}{2})$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.

- На интервале $(-\frac{1}{2}; \frac{1}{4})$: $f'(x) < 0$, функция убывает.

- На интервале $(\frac{1}{4}; 1)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.

- На интервале $(1; +\infty)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -\frac{1}{2}]$ и $[1; +\infty)$, убывает на промежутках $[-\frac{1}{2}; \frac{1}{4})$ и $(\frac{1}{4}; 1]$.