Номер 303, страница 105 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

303. Найдите точки максимума и минимума функции:

1) $f(x) = -3x^8;$

2) $f(x) = x^2 + 12x;$

3) $f(x) = x^3 - 27x + 4;$

4) $f(x) = -x^4 - 8x^3 + 14x^2 + 17.$

1) f(x) = -3x⁸

Для нахождения точек максимума и минимума функции, необходимо найти ее производную, приравнять ее к нулю, чтобы найти критические точки, а затем исследовать знак производной в окрестности этих точек.

1. Найдем производную функции $f(x) = -3x^8$:

$f'(x) = (-3x^8)' = -3 \cdot 8x^{8-1} = -24x^7$.

2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$-24x^7 = 0$

$x = 0$.

3. Исследуем знак производной на интервалах, на которые числовая ось разбивается критической точкой $x=0$.

- При $x < 0$ (например, $x = -1$), $f'(-1) = -24(-1)^7 = -24(-1) = 24 > 0$. Функция возрастает.

- При $x > 0$ (например, $x = 1$), $f'(1) = -24(1)^7 = -24 < 0$. Функция убывает.

Поскольку в точке $x=0$ производная меняет знак с «+» на «-», эта точка является точкой максимума. Точек минимума у функции нет.

Ответ: $x_{\text{max}} = 0$.

2) f(x) = x² + 12x

1. Найдем производную функции $f(x) = x^2 + 12x$:

$f'(x) = (x^2 + 12x)' = 2x + 12$.

2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$2x + 12 = 0$

$2x = -12$

$x = -6$.

3. Исследуем знак производной на интервалах, на которые числовая ось разбивается критической точкой $x=-6$.

- При $x < -6$ (например, $x = -7$), $f'(-7) = 2(-7) + 12 = -14 + 12 = -2 < 0$. Функция убывает.

- При $x > -6$ (например, $x = 0$), $f'(0) = 2(0) + 12 = 12 > 0$. Функция возрастает.

Поскольку в точке $x=-6$ производная меняет знак с «-» на «+», эта точка является точкой минимума. Точек максимума у функции нет.

Ответ: $x_{\text{min}} = -6$.

3) f(x) = x³ - 27x + 4

1. Найдем производную функции $f(x) = x^3 - 27x + 4$:

$f'(x) = (x^3 - 27x + 4)' = 3x^2 - 27$.

2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$3x^2 - 27 = 0$

$3x^2 = 27$

$x^2 = 9$

$x_1 = -3$, $x_2 = 3$.

3. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; -3)$, $(-3; 3)$ и $(3; +\infty)$.

- При $x < -3$ (например, $x = -4$), $f'(-4) = 3(-4)^2 - 27 = 3 \cdot 16 - 27 = 48 - 27 = 21 > 0$. Функция возрастает.

- При $x \in (-3; 3)$ (например, $x = 0$), $f'(0) = 3(0)^2 - 27 = -27 < 0$. Функция убывает.

- При $x > 3$ (например, $x = 4$), $f'(4) = 3(4)^2 - 27 = 3 \cdot 16 - 27 = 48 - 27 = 21 > 0$. Функция возрастает.

В точке $x=-3$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка максимума.

В точке $x=3$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка минимума.

Ответ: $x_{\text{max}} = -3$, $x_{\text{min}} = 3$.

4) f(x) = -x⁴ - 8x³ + 14x² + 17

1. Найдем производную функции $f(x) = -x^4 - 8x^3 + 14x^2 + 17$:

$f'(x) = (-x^4 - 8x^3 + 14x^2 + 17)' = -4x^3 - 24x^2 + 28x$.

2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$-4x^3 - 24x^2 + 28x = 0$

Вынесем общий множитель $-4x$ за скобки:

$-4x(x^2 + 6x - 7) = 0$

Отсюда либо $-4x = 0 \Rightarrow x_1 = 0$, либо $x^2 + 6x - 7 = 0$.

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_2 = 1$ и $x_3 = -7$.

Таким образом, критические точки: $x = -7$, $x = 0$, $x = 1$.

3. Исследуем знак производной $f'(x) = -4x(x-1)(x+7)$ на интервалах $(-\infty; -7)$, $(-7; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$.

- При $x < -7$ (например, $x = -8$), $f'(-8) = -4(-8)(-8-1)(-8+7) = 32(-9)(-1) = 288 > 0$. Функция возрастает.

- При $x \in (-7; 0)$ (например, $x = -1$), $f'(-1) = -4(-1)(-1-1)(-1+7) = 4(-2)(6) = -48 < 0$. Функция убывает.

- При $x \in (0; 1)$ (например, $x = 0.5$), $f'(0.5) = -4(0.5)(0.5-1)(0.5+7) = -2(-0.5)(7.5) = 7.5 > 0$. Функция возрастает.

- При $x > 1$ (например, $x = 2$), $f'(2) = -4(2)(2-1)(2+7) = -8(1)(9) = -72 < 0$. Функция убывает.

Анализируем смену знаков производной в критических точках:

- В точке $x=-7$ знак меняется с «+» на «-», значит, это точка максимума.

- В точке $x=0$ знак меняется с «-» на «+», значит, это точка минимума.

- В точке $x=1$ знак меняется с «+» на «-», значит, это точка максимума.

Ответ: $x_{\text{min}} = 0$, $x_{\text{max}} = -7$, $x_{\text{max}} = 1$.