Номер 301, страница 104 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

301. Найдите, при каких значениях $a$ убывает на $\mathbb{R}$ функция:

1) $f(x) = (a + 3)x^2 - 2x + 7;$

2) $f(x) = -\frac{x^3}{3} + \frac{ax^2}{2} - 3ax - 7.$

1) $f(x) = (a+3)x^2 - 2x + 7$

Для того чтобы дифференцируемая функция убывала на всей числовой прямой $\mathbb{R}$, необходимо и достаточно, чтобы ее производная была неположительна для всех $x \in \mathbb{R}$, то есть $f'(x) \le 0$.

Найдем производную данной функции:
$f'(x) = ((a+3)x^2 - 2x + 7)' = 2(a+3)x - 2$.

Теперь нам нужно найти значения $a$, при которых неравенство $2(a+3)x - 2 \le 0$ выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.
Перепишем неравенство в виде: $(a+3)x \le 1$.

Это линейное неравенство относительно $x$. Проанализируем его:

• Если $a+3 > 0$, то $x \le \frac{1}{a+3}$. Это неравенство выполняется не для всех $x$.
• Если $a+3 < 0$, то $x \ge \frac{1}{a+3}$. Это неравенство также выполняется не для всех $x$.
• Если $a+3 = 0$, то неравенство принимает вид $0 \cdot x \le 1$, или $0 \le 1$. Это верное неравенство, которое выполняется при любом значении $x$.

Следовательно, единственным условием, при котором функция убывает на всей числовой прямой, является $a+3=0$.
$a = -3$.

При $a=-3$ исходная функция становится линейной: $f(x) = -2x+7$. Это прямая с отрицательным угловым коэффициентом, которая убывает на всей области определения.

Ответ: $a = -3$.

2) $f(x) = -\frac{x^3}{3} + \frac{ax^2}{2} - 3ax - 7$

Функция убывает на $\mathbb{R}$, если ее производная $f'(x) \le 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Найдем производную функции:
$f'(x) = (-\frac{x^3}{3} + \frac{ax^2}{2} - 3ax - 7)' = -\frac{3x^2}{3} + \frac{a \cdot 2x}{2} - 3a = -x^2 + ax - 3a$.

Теперь необходимо найти значения $a$, при которых неравенство $-x^2 + ax - 3a \le 0$ выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.

Графиком квадратичной функции $y = -x^2 + ax - 3a$ является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $-1$ (отрицательный), ветви параболы направлены вниз.

Парабола с ветвями вниз будет полностью находиться не выше оси абсцисс ($y \le 0$) в том и только том случае, если она имеет не более одной точки пересечения с этой осью. Это означает, что соответствующее квадратное уравнение $-x^2 + ax - 3a = 0$ должно иметь не более одного действительного корня.

Условием для этого является неположительность дискриминанта ($D \le 0$).
Найдем дискриминант уравнения $-x^2 + ax - 3a = 0$:
$D = a^2 - 4(-1)(-3a) = a^2 - 12a$.

Решим неравенство $D \le 0$:
$a^2 - 12a \le 0$
$a(a - 12) \le 0$

Корнями уравнения $a(a-12)=0$ являются $a_1=0$ и $a_2=12$. Так как это парабола с ветвями вверх (относительно переменной $a$), неравенство выполняется между корнями включительно.

Таким образом, $0 \le a \le 12$.

Ответ: $a \in [0, 12]$.