Страница 104 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

298. На рисунке 19 изображён график производной функции $f$, дифференцируемой на $\mathbb{R}$. Укажите промежутки убывания функции $f$.

Рис. 19

Функция $f$ убывает на тех промежутках, на которых её производная $f'$ является неположительной, то есть $f'(x) \le 0$. Нам дан график функции $y = f'(x)$. Следовательно, нам нужно найти промежутки, на которых график этой функции расположен не выше оси абсцисс (оси $x$).

Анализируя представленный график, мы видим, что $f'(x) \le 0$ на следующих промежутках:

• от минус бесконечности до точки $x_1$ включительно, так как на этом участке график находится ниже оси $x$ и пересекает её в точке $x_1$;
• от $x_2$ до $x_3$ включительно, так как на этом отрезке график находится ниже оси $x$ и касается её в точках $x_2$ и $x_3$;
• от $x_4$ до плюс бесконечности, так как на этом участке график находится ниже оси $x$ и пересекает её в точке $x_4$.

Таким образом, промежутками убывания функции $f$ являются $(-\infty, x_1]$, $[x_2, x_3]$ и $[x_4, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty, x_1]$, $[x_2, x_3]$, $[x_4, +\infty)$.

299. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = \sqrt{2x - x^2}$;

2) $f(x) = \cos x + \frac{x\sqrt{2}}{2}$.

1) $f(x) = \sqrt{2x - x^2}$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции, найдем ее производную и определим ее знак.

1. Сначала найдем область определения функции. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$2x - x^2 \ge 0$

$x(2 - x) \ge 0$

Решая это неравенство, получаем, что область определения функции $D(f) = [0, 2]$.

2. Найдем производную функции $f(x)$ по правилу дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = (\sqrt{2x - x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{2x - x^2}} \cdot (2x - x^2)' = \frac{2 - 2x}{2\sqrt{2x - x^2}} = \frac{1 - x}{\sqrt{2x - x^2}}$

3. Найдем критические точки функции, то есть точки, в которых производная равна нулю или не существует. Производная определена на интервале $(0, 2)$.

Приравняем производную к нулю:

$f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{1 - x}{\sqrt{2x - x^2}} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Отсюда $1 - x = 0$, что дает $x = 1$. Эта точка принадлежит области определения $[0, 2]$.

Производная не существует, когда знаменатель равен нулю: $\sqrt{2x - x^2} = 0$, то есть при $x=0$ и $x=2$. Это граничные точки области определения.

4. Определим знаки производной на интервалах, на которые область определения разбивается критическими точками: $(0, 1)$ и $(1, 2)$.

Знаменатель производной $\sqrt{2x - x^2}$ положителен на интервале $(0, 2)$, поэтому знак $f'(x)$ зависит только от знака числителя $(1 - x)$.

• На интервале $(0, 1)$: выберем пробную точку, например $x=0.5$. Тогда $1 - x = 1 - 0.5 = 0.5 > 0$. Следовательно, $f'(x) > 0$, и функция на этом интервале возрастает.
• На интервале $(1, 2)$: выберем пробную точку, например $x=1.5$. Тогда $1 - x = 1 - 1.5 = -0.5 < 0$. Следовательно, $f'(x) < 0$, и функция на этом интервале убывает.

Поскольку функция непрерывна на концах промежутков, мы можем включить их в ответ.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0, 1]$ и убывает на промежутке $[1, 2]$.

2) $f(x) = \cos x + \frac{x\sqrt{2}}{2}$

1. Область определения данной функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty, +\infty)$, так как и $\cos x$, и линейная функция определены для любого $x$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = (\cos x + \frac{x\sqrt{2}}{2})' = -\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2}$

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$f'(x) = 0 \implies -\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 \implies \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Решениями этого тригонометрического уравнения являются две серии корней:

$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$x = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

4. Определим знаки производной на интервалах. Функция возрастает, когда $f'(x) > 0$, и убывает, когда $f'(x) < 0$.

Функция возрастает, если $-\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} > 0$, то есть $\sin x < \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решая это неравенство, получаем, что функция возрастает на промежутках $[\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \frac{9\pi}{4} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$. (Например, для $k=0$ это промежуток $[\frac{3\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}]$)

Функция убывает, если $-\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} < 0$, то есть $\sin x > \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решая это неравенство, получаем, что функция убывает на промежутках $[\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{3\pi}{4} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$. (Например, для $k=0$ это промежуток $[\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$)

Ответ: функция возрастает на промежутках $[\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \frac{9\pi}{4} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$, и убывает на промежутках $[\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{3\pi}{4} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

300. Докажите, что функция $f(x) = 6 - 6x + 3x^2 - 2x^3$ является убывающей.

Для того чтобы доказать, что функция $f(x) = 6 - 6x + 3x^2 - 2x^3$ является убывающей на всей своей области определения, достаточно доказать, что ее производная $f'(x)$ неположительна (то есть $f'(x) \leq 0$) для всех действительных значений $x$.

Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел ($x \in \mathbb{R}$), так как это многочлен.

Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (6 - 6x + 3x^2 - 2x^3)' = (6)' - (6x)' + (3x^2)' - (2x^3)'$
$f'(x) = 0 - 6 \cdot 1 + 3 \cdot 2x - 2 \cdot 3x^2 = -6 + 6x - 6x^2$

Итак, мы получили производную: $f'(x) = -6x^2 + 6x - 6$.

Теперь необходимо исследовать знак этой производной. Выражение $f'(x)$ представляет собой квадратичную функцию. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, так как старший коэффициент $a = -6$ отрицателен.

Чтобы определить, пересекает ли парабола ось абсцисс (ось Ox), найдем дискриминант квадратного трехчлена $-6x^2 + 6x - 6$:
$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot (-6) \cdot (-6) = 36 - 144 = -108$.

Поскольку дискриминант $D = -108 < 0$, квадратный трехчлен не имеет действительных корней. Это означает, что график функции $f'(x)$ не пересекает ось Ox. Так как ветви параболы направлены вниз, весь график целиком лежит ниже оси Ox. Следовательно, значение производной $f'(x)$ всегда отрицательно при любом $x$.

Это можно также показать, выделив полный квадрат:
$f'(x) = -6x^2 + 6x - 6 = -6(x^2 - x + 1) = -6(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 + 1)$
$f'(x) = -6 \left( (x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} \right)$
Выражение в скобках $(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$ всегда положительно, так как $(x - \frac{1}{2})^2 \geq 0$, и значит $(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4} > 0$.
Таким образом, $f'(x)$ является произведением отрицательного числа (-6) на строго положительное выражение, а значит, $f'(x) < 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Поскольку производная функции $f'(x)$ строго отрицательна на всей области определения, функция $f(x)$ является строго убывающей, а значит, и убывающей на всей числовой прямой. Что и требовалось доказать.
Ответ: производная функции $f'(x) = -6x^2 + 6x - 6$ отрицательна для всех действительных $x$, следовательно, функция $f(x) = 6 - 6x + 3x^2 - 2x^3$ является убывающей.

301. Найдите, при каких значениях $a$ убывает на $\mathbb{R}$ функция:

1) $f(x) = (a + 3)x^2 - 2x + 7;$

2) $f(x) = -\frac{x^3}{3} + \frac{ax^2}{2} - 3ax - 7.$

1) $f(x) = (a+3)x^2 - 2x + 7$

Для того чтобы дифференцируемая функция убывала на всей числовой прямой $\mathbb{R}$, необходимо и достаточно, чтобы ее производная была неположительна для всех $x \in \mathbb{R}$, то есть $f'(x) \le 0$.

Найдем производную данной функции:
$f'(x) = ((a+3)x^2 - 2x + 7)' = 2(a+3)x - 2$.

Теперь нам нужно найти значения $a$, при которых неравенство $2(a+3)x - 2 \le 0$ выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.
Перепишем неравенство в виде: $(a+3)x \le 1$.

Это линейное неравенство относительно $x$. Проанализируем его:

• Если $a+3 > 0$, то $x \le \frac{1}{a+3}$. Это неравенство выполняется не для всех $x$.
• Если $a+3 < 0$, то $x \ge \frac{1}{a+3}$. Это неравенство также выполняется не для всех $x$.
• Если $a+3 = 0$, то неравенство принимает вид $0 \cdot x \le 1$, или $0 \le 1$. Это верное неравенство, которое выполняется при любом значении $x$.

Следовательно, единственным условием, при котором функция убывает на всей числовой прямой, является $a+3=0$.
$a = -3$.

При $a=-3$ исходная функция становится линейной: $f(x) = -2x+7$. Это прямая с отрицательным угловым коэффициентом, которая убывает на всей области определения.

Ответ: $a = -3$.

2) $f(x) = -\frac{x^3}{3} + \frac{ax^2}{2} - 3ax - 7$

Функция убывает на $\mathbb{R}$, если ее производная $f'(x) \le 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Найдем производную функции:
$f'(x) = (-\frac{x^3}{3} + \frac{ax^2}{2} - 3ax - 7)' = -\frac{3x^2}{3} + \frac{a \cdot 2x}{2} - 3a = -x^2 + ax - 3a$.

Теперь необходимо найти значения $a$, при которых неравенство $-x^2 + ax - 3a \le 0$ выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.

Графиком квадратичной функции $y = -x^2 + ax - 3a$ является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $-1$ (отрицательный), ветви параболы направлены вниз.

Парабола с ветвями вниз будет полностью находиться не выше оси абсцисс ($y \le 0$) в том и только том случае, если она имеет не более одной точки пересечения с этой осью. Это означает, что соответствующее квадратное уравнение $-x^2 + ax - 3a = 0$ должно иметь не более одного действительного корня.

Условием для этого является неположительность дискриминанта ($D \le 0$).
Найдем дискриминант уравнения $-x^2 + ax - 3a = 0$:
$D = a^2 - 4(-1)(-3a) = a^2 - 12a$.

Решим неравенство $D \le 0$:
$a^2 - 12a \le 0$
$a(a - 12) \le 0$

Корнями уравнения $a(a-12)=0$ являются $a_1=0$ и $a_2=12$. Так как это парабола с ветвями вверх (относительно переменной $a$), неравенство выполняется между корнями включительно.

Таким образом, $0 \le a \le 12$.

Ответ: $a \in [0, 12]$.

302. На рисунке 20 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на промежутке $[-7; 8]$. Укажите:

1) критические точки функции;

2) точки минимума;

3) точки максимума.

Рис. 20

1) критические точки функции
Критические точки — это внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна нулю или не существует.
1. Производная равна нулю ($f'(x) = 0$) в точках локальных максимумов и минимумов, где касательная к графику горизонтальна. По графику это точки: $x = -2$, $x = 2$, $x = 6$.
2. Производная не существует в точках, где график имеет излом (острый пик). По графику это точка: $x = -5$.
Объединяя эти точки, получаем все критические точки функции на данном промежутке.
Ответ: $-5, -2, 2, 6$.

2) точки минимума
Точки минимума — это точки, в которых возрастание функции сменяется убыванием. На графике это "впадины".
Из графика видно, что функция переходит от убывания к возрастанию в точках $x = -2$ и $x = 6$.
Ответ: $-2, 6$.

3) точки максимума
Точки максимума — это точки, в которых убывание функции сменяется возрастанием. На графике это "вершины" или "пики".
Из графика видно, что функция переходит от возрастания к убыванию в точках $x = -5$ и $x = 2$.
Ответ: $-5, 2$.