Страница 110 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

10. На рисунке 22 изображена часть графика функции $y = g(x)$, определённой на промежутке $[-7; 7]$. Достройте график этой функции, если она является:

1) чётной;

2) нечётной.

Рис. 22

$y$

$x$

$-7$

$0$

$1$

$1$

$3$

1) чётной

По определению, чётная функция удовлетворяет условию $g(-x) = g(x)$ для любого $x$ из области определения. График чётной функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Чтобы достроить график функции на промежутке $[0; 7]$, нужно отразить уже существующую часть графика (для $x \in [-7; 0]$) симметрично относительно оси OY. Исходный график на промежутке $x \in [-7; 0]$ состоит из двух частей: горизонтального отрезка от точки $(-7, 3)$ до $(-4, 3)$ и отрезка прямой, соединяющего точки $(-4, 3)$ и $(0, 0)$.

При симметричном отражении относительно оси OY каждая точка $(x, y)$ графика переходит в точку $(-x, y)$.

Таким образом, отрезок с концами в точках $(-7, 3)$ и $(-4, 3)$ отобразится в отрезок с концами в точках $(7, 3)$ и $(4, 3)$. Это означает, что на промежутке $[4; 7]$ график функции будет представлять собой горизонтальный отрезок на уровне $y=3$. Отрезок, соединяющий точки $(-4, 3)$ и $(0, 0)$, отобразится в отрезок, соединяющий точки $(4, 3)$ и $(0, 0)$.

В итоге, полный график будет состоять из исходной части и достроенной, которая включает отрезок от точки $(0, 0)$ до $(4, 3)$ и горизонтальный отрезок от точки $(4, 3)$ до $(7, 3)$.

Ответ: Чтобы достроить график, нужно на промежутке $[0; 4]$ провести отрезок из точки $(0, 0)$ в точку $(4, 3)$, а на промежутке $[4; 7]$ провести горизонтальный отрезок из точки $(4, 3)$ в точку $(7, 3).

2) нечётной

По определению, нечётная функция удовлетворяет условию $g(-x) = -g(x)$ для любого $x$ из области определения. График нечётной функции симметричен относительно начала координат (точки $(0, 0)$).

Чтобы достроить график функции на промежутке $[0; 7]$, нужно отразить уже существующую часть графика (для $x \in [-7; 0]$) симметрично относительно начала координат. При таком отражении каждая точка $(x, y)$ графика переходит в точку $(-x, -y)$.

Исходный график на промежутке $x \in [-7; 0]$ состоит из двух частей: горизонтального отрезка от точки $(-7, 3)$ до $(-4, 3)$ и отрезка прямой, соединяющего точки $(-4, 3)$ и $(0, 0)$.

При симметричном отражении относительно начала координат отрезок с концами в точках $(-7, 3)$ и $(-4, 3)$ отобразится в отрезок с концами в точках $(7, -3)$ и $(4, -3)$. Это означает, что на промежутке $[4; 7]$ график функции будет представлять собой горизонтальный отрезок на уровне $y=-3$. Отрезок, соединяющий точки $(-4, 3)$ и $(0, 0)$, отобразится в отрезок, соединяющий точки $(4, -3)$ и $(0, 0)$.

В итоге, полный график будет состоять из исходной части и достроенной, которая включает отрезок от точки $(0, 0)$ до $(4, -3)$ и горизонтальный отрезок от точки $(4, -3)$ до $(7, -3)$.

Ответ: Чтобы достроить график, нужно на промежутке $[0; 4]$ провести отрезок из точки $(0, 0)$ в точку $(4, -3)$, а на промежутке $[4; 7]$ провести горизонтальный отрезок из точки $(4, -3)$ в точку $(7, -3).

11. О функции $f$, определённой на множестве $\mathbb{R}$, известно, что $f(x) = x^2 - 2x$ при $x \geq 0$. Постройте график этой функции, если она является:

1) чётной

2) нечётной

Сначала построим график функции $f(x) = x^2 - 2x$ для $x \ge 0$. Это парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы:

$x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$

$y_0 = f(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 = -1$

Вершина находится в точке $(1, -1)$.

Найдем точки пересечения с осью абсцисс:

$x^2 - 2x = 0 \implies x(x-2)=0 \implies x_1=0, x_2=2$.

Точки пересечения: $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

Теперь, имея график функции для $x \ge 0$, мы можем достроить его для $x < 0$ в двух случаях.

1) чётной

Если функция является чётной, то она удовлетворяет свойству $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения. График чётной функции симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

Чтобы найти формулу для функции при $x < 0$, воспользуемся определением чётности. Пусть $x < 0$, тогда $-x > 0$, и мы можем применить к $-x$ исходную формулу:

$f(x) = f(-x) = (-x)^2 - 2(-x) = x^2 + 2x$.

Итак, полная функция имеет вид:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x, & \text{если } x \ge 0 \\ x^2 + 2x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Для построения графика мы отражаем построенную для $x \ge 0$ часть параболы симметрично относительно оси Oy. Вершина $(1, -1)$ отобразится в точку $(-1, -1)$, а точка $(2, 0)$ — в точку $(-2, 0)$. График будет иметь форму буквы W.

Ответ: График функции для $x < 0$ является зеркальным отражением графика для $x \ge 0$ относительно оси Oy. Функция для $x < 0$ задается формулой $f(x) = x^2 + 2x$.

2) нечётной

Если функция является нечётной, то она удовлетворяет свойству $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения. График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

Чтобы найти формулу для функции при $x < 0$, воспользуемся определением нечётности. Пусть $x < 0$, тогда $-x > 0$:

$f(x) = -f(-x) = -((-x)^2 - 2(-x)) = -(x^2 + 2x) = -x^2 - 2x$.

Итак, полная функция имеет вид:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x^2 - 2x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Для построения графика мы отражаем построенную для $x \ge 0$ часть параболы симметрично относительно начала координат (поворот на 180°). Вершина $(1, -1)$ отобразится в точку $(-1, 1)$, а точка $(2, 0)$ — в точку $(-2, 0)$. Часть графика для $x < 0$ будет параболой с ветвями, направленными вниз.

Ответ: График функции для $x < 0$ является симметричным отражением графика для $x \ge 0$ относительно начала координат. Функция для $x < 0$ задается формулой $f(x) = -x^2 - 2x$.

12. При каких значениях c наибольшее значение функции $y = -2x^2 + 4x + c$ равно 5?

Дана квадратичная функция $y = -2x^2 + 4x + c$.

Графиком этой функции является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($a = -2 < 0$), ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция имеет наибольшее значение, которое достигается в вершине параболы.

Координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$ находятся по формулам: $x_в = -\frac{b}{2a}$ и $y_в = y(x_в)$. Наибольшее значение функции равно $y_в$.

В нашем случае коэффициенты $a = -2$ и $b = 4$.

Найдем абсциссу (координату $x$) вершины:

$x_в = -\frac{4}{2 \cdot (-2)} = -\frac{4}{-4} = 1$

Теперь найдем ординату (координату $y$) вершины, подставив $x_в = 1$ в уравнение функции. Это и будет наибольшее значение функции, выраженное через $c$.

$y_в = -2(1)^2 + 4(1) + c = -2 \cdot 1 + 4 + c = -2 + 4 + c = 2 + c$

По условию задачи, наибольшее значение функции равно 5. Следовательно, мы можем составить уравнение:

$y_в = 5$

$2 + c = 5$

Решим это уравнение, чтобы найти значение $c$:

$c = 5 - 2$

$c = 3$

Таким образом, при $c = 3$ наибольшее значение функции будет равно 5.

Ответ: 3

13. Сумма двух чисел равна 10. Какое наибольшее значение может принимать произведение этих чисел?

Пусть два числа — это $x$ и $y$. Согласно условию задачи, их сумма равна 10:

$x + y = 10$

Нам необходимо найти наибольшее значение их произведения, которое обозначим как $P$:

$P = x \cdot y$

Чтобы найти максимум произведения, выразим одну переменную через другую из первого уравнения. Например, выразим $y$:

$y = 10 - x$

Теперь подставим это выражение в формулу для произведения $P$:

$P(x) = x \cdot (10 - x)$

$P(x) = 10x - x^2$

Мы получили квадратичную функцию $P(x) = -x^2 + 10x$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз (поскольку коэффициент при $x^2$ отрицательный, равен -1). Своё наибольшее значение такая функция принимает в вершине параболы.

Координата $x$ вершины параболы вида $ax^2 + bx + c$ находится по формуле $x_0 = -b / (2a)$. В нашем случае коэффициенты $a = -1$ и $b = 10$.

Найдем абсциссу вершины:

$x_0 = -10 / (2 \cdot (-1)) = -10 / (-2) = 5$

Это означает, что произведение $P$ достигает своего максимума, когда одно из чисел ($x$) равно 5.

Найдем соответствующее значение второго числа ($y$):

$y = 10 - x = 10 - 5 = 5$

Итак, произведение будет наибольшим, когда оба числа равны 5.

Вычислим это наибольшее значение произведения:

$P_{max} = 5 \cdot 5 = 25$

Ответ: 25

14. Нечётная функция $f$ имеет 5 нулей. Найдите $f(0)$.

Функция $f$ называется нечётной, если для любого значения $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Поскольку нам нужно найти значение $f(0)$, точка $x=0$ входит в область определения функции. Подставим значение $x=0$ в определение нечётной функции:

$f(-0) = -f(0)$

Так как $-0$ это то же самое, что и $0$, мы получаем:

$f(0) = -f(0)$

Перенесем $-f(0)$ в левую часть уравнения:

$f(0) + f(0) = 0$

$2 \cdot f(0) = 0$

Разделив обе части на 2, получаем:

$f(0) = 0$

Условие о том, что функция имеет 5 нулей, подтверждает этот вывод. Нуль функции — это такое значение аргумента $x_0$, при котором $f(x_0) = 0$. Если $x_0 \neq 0$ является нулём нечётной функции, то и $-x_0$ также является её нулём, так как $f(-x_0) = -f(x_0) = -0 = 0$. Таким образом, все ненулевые нули нечётной функции идут парами. Поскольку общее число нулей равно 5 (нечётное число), один из нулей не может иметь пару. Единственное число, для которого $x_0 = -x_0$, это $x_0=0$. Следовательно, $x=0$ является одним из нулей функции, что по определению означает $f(0)=0$.

Ответ: 0

15. Функция $f$ такова, что $\min_{[2;4]} f(x) = -4$, $\max_{[2;4]} f(x) = 7$.

Найдите $\min_{[-4;-2]} f(x)$, $\max_{[-4;-2]} f(x)$, если:

1) $f$ — чётная функция;

2) $f$ — нечётная функция.

По условию задачи, для функции $f(x)$ на отрезке $[2; 4]$ известны минимальное и максимальное значения:

$\min_{x \in [2; 4]} f(x) = -4$

$\max_{x \in [2; 4]} f(x) = 7$

Необходимо найти минимальное и максимальное значения функции $f(x)$ на отрезке $[-4; -2]$ для двух случаев.

1) f — чётная функция

Чётная функция по определению удовлетворяет равенству $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из её области определения. График такой функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Рассмотрим отрезок $[-4; -2]$. Если $x \in [-4; -2]$, то $-x \in [2; 4]$. В силу чётности функции, значение $f(x)$ в любой точке $x$ из отрезка $[-4; -2]$ равно значению $f(-x)$ в симметричной точке $-x$ из отрезка $[2; 4]$.

Это означает, что множество значений, которые функция принимает на отрезке $[-4; -2]$, в точности совпадает с множеством значений, которые она принимает на отрезке $[2; 4]$. Следовательно, минимальное и максимальное значения функции на этих отрезках будут одинаковыми.

$\min_{x \in [-4; -2]} f(x) = \min_{x \in [2; 4]} f(x) = -4$

$\max_{x \in [-4; -2]} f(x) = \max_{x \in [2; 4]} f(x) = 7$

Ответ: $\min_{x \in [-4; -2]} f(x) = -4$, $\max_{x \in [-4; -2]} f(x) = 7$.

2) f — нечётная функция

Нечётная функция по определению удовлетворяет равенству $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из её области определения. График такой функции симметричен относительно начала координат.

Пусть $x \in [-4; -2]$. Тогда $-x \in [2; 4]$. По условию, для любого $t \in [2; 4]$ справедливо двойное неравенство: $-4 \le f(t) \le 7$.

Поскольку $-x$ принадлежит отрезку $[2; 4]$, мы можем подставить $t = -x$ в это неравенство: $-4 \le f(-x) \le 7$.

Используя свойство нечётности $f(-x) = -f(x)$, заменим $f(-x)$ в неравенстве: $-4 \le -f(x) \le 7$.

Чтобы найти границы для $f(x)$, умножим все части неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные: $(-4) \cdot (-1) \ge (-f(x)) \cdot (-1) \ge 7 \cdot (-1)$ $4 \ge f(x) \ge -7$.

Записав это неравенство в стандартном виде (от меньшего к большему), получаем: $-7 \le f(x) \le 4$.

Это означает, что для любого $x$ из отрезка $[-4; -2]$ значения функции $f(x)$ находятся в пределах от -7 до 4. Таким образом, минимальное значение функции на этом отрезке равно -7, а максимальное — 4.

Ответ: $\min_{x \in [-4; -2]} f(x) = -7$, $\max_{x \in [-4; -2]} f(x) = 4$.

16. При каких значениях $a$ функция $f(x) = -x^2 + 4ax + 7$ является чётной?

Функция $f(x)$ называется чётной, если для любого значения $x$ из её области определения выполняются два условия:
1. Область определения симметрична относительно нуля.
2. Выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Для функции $f(x) = -x^2 + 4ax + 7$ областью определения является множество всех действительных чисел, которое симметрично относительно нуля. Первое условие выполнено.

Проверим второе условие. Сначала найдём выражение для $f(-x)$:

$f(-x) = -(-x)^2 + 4a(-x) + 7 = -x^2 - 4ax + 7$

Теперь приравняем $f(x)$ и $f(-x)$, чтобы найти значение параметра $a$, при котором функция будет чётной:

$f(x) = f(-x)$

$-x^2 + 4ax + 7 = -x^2 - 4ax + 7$

Упростим полученное равенство, сократив одинаковые слагаемые в обеих частях:

$4ax = -4ax$

Перенесём все члены в левую часть:

$4ax + 4ax = 0$

$8ax = 0$

Это равенство должно быть верным для любого значения $x$. Такое возможно только в том случае, если коэффициент при $x$ равен нулю, то есть:

$8a = 0$

Отсюда получаем:

$a = 0$

Ответ: $a=0$.