Номер 11, страница 110 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

11. О функции $f$, определённой на множестве $\mathbb{R}$, известно, что $f(x) = x^2 - 2x$ при $x \geq 0$. Постройте график этой функции, если она является:

1) чётной

2) нечётной

Сначала построим график функции $f(x) = x^2 - 2x$ для $x \ge 0$. Это парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы:

$x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$

$y_0 = f(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 = -1$

Вершина находится в точке $(1, -1)$.

Найдем точки пересечения с осью абсцисс:

$x^2 - 2x = 0 \implies x(x-2)=0 \implies x_1=0, x_2=2$.

Точки пересечения: $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

Теперь, имея график функции для $x \ge 0$, мы можем достроить его для $x < 0$ в двух случаях.

1) чётной

Если функция является чётной, то она удовлетворяет свойству $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения. График чётной функции симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

Чтобы найти формулу для функции при $x < 0$, воспользуемся определением чётности. Пусть $x < 0$, тогда $-x > 0$, и мы можем применить к $-x$ исходную формулу:

$f(x) = f(-x) = (-x)^2 - 2(-x) = x^2 + 2x$.

Итак, полная функция имеет вид:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x, & \text{если } x \ge 0 \\ x^2 + 2x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Для построения графика мы отражаем построенную для $x \ge 0$ часть параболы симметрично относительно оси Oy. Вершина $(1, -1)$ отобразится в точку $(-1, -1)$, а точка $(2, 0)$ — в точку $(-2, 0)$. График будет иметь форму буквы W.

Ответ: График функции для $x < 0$ является зеркальным отражением графика для $x \ge 0$ относительно оси Oy. Функция для $x < 0$ задается формулой $f(x) = x^2 + 2x$.

2) нечётной

Если функция является нечётной, то она удовлетворяет свойству $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения. График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

Чтобы найти формулу для функции при $x < 0$, воспользуемся определением нечётности. Пусть $x < 0$, тогда $-x > 0$:

$f(x) = -f(-x) = -((-x)^2 - 2(-x)) = -(x^2 + 2x) = -x^2 - 2x$.

Итак, полная функция имеет вид:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x^2 - 2x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Для построения графика мы отражаем построенную для $x \ge 0$ часть параболы симметрично относительно начала координат (поворот на 180°). Вершина $(1, -1)$ отобразится в точку $(-1, 1)$, а точка $(2, 0)$ — в точку $(-2, 0)$. Часть графика для $x < 0$ будет параболой с ветвями, направленными вниз.

Ответ: График функции для $x < 0$ является симметричным отражением графика для $x \ge 0$ относительно начала координат. Функция для $x < 0$ задается формулой $f(x) = -x^2 - 2x$.