Номер 9, страница 109 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

9. Исследуйте на чётность функцию:

1) $f(x) = -5x^8$;

2) $f(x) = 7x^2 + 6x - 8$;

3) $f(x) = x^8 - 7x^6 - 11$;

4) $f(x) = \frac{1}{x^3 + 9x}$;

5) $f(x) = \sqrt{3 - |x|}$;

6) $f(x) = (x + 4)^5 - (x - 4)^5$;

7) $f(x) = \frac{x^2 + 8x}{2x + 16}$;

8) $f(x) = (x - 8)(x + 6) + 2x$;

9) $f(x) = (x + 6)|x - 7| - (x - 6)|x + 7|$;

10) $f(x) = \frac{6x - 7}{x^2 + 4x + 16} - \frac{6x + 7}{x^2 - 4x + 16}$.

Для исследования функции $f(x)$ на чётность необходимо проверить два условия:

1. Область определения функции $D(f)$ должна быть симметрична относительно нуля.
2. Должно выполняться одно из равенств:
   • $f(-x) = f(x)$ – функция чётная.
   • $f(-x) = -f(x)$ – функция нечётная.

Если ни одно из равенств не выполняется, функция является ни чётной, ни нечётной (функцией общего вида).

1) $f(x) = -5x^8$

Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = -5(-x)^8 = -5x^8 = f(x)$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная.

2) $f(x) = 7x^2 + 6x - 8$

Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = 7(-x)^2 + 6(-x) - 8 = 7x^2 - 6x - 8$.

Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:

$f(-x) = 7x^2 - 6x - 8 \neq f(x) = 7x^2 + 6x - 8$

$f(-x) = 7x^2 - 6x - 8 \neq -f(x) = -7x^2 - 6x + 8$

Функция является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: ни чётная, ни нечётная.

3) $f(x) = x^8 - 7x^6 - 11$

Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = (-x)^8 - 7(-x)^6 - 11 = x^8 - 7x^6 - 11 = f(x)$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная.

4) $f(x) = \frac{1}{x^3 + 9x}$

Найдем область определения: $x^3 + 9x \neq 0 \Rightarrow x(x^2 + 9) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$.

$D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, область симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \frac{1}{(-x)^3 + 9(-x)} = \frac{1}{-x^3 - 9x} = \frac{1}{-(x^3 + 9x)} = -\frac{1}{x^3 + 9x} = -f(x)$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: нечётная.

5) $f(x) = \sqrt{3 - |x|}$

Найдем область определения: $3 - |x| \ge 0 \Rightarrow |x| \le 3 \Rightarrow -3 \le x \le 3$.

$D(f) = [-3; 3]$, область симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \sqrt{3 - |-x|} = \sqrt{3 - |x|} = f(x)$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная.

6) $f(x) = (x + 4)^5 - (x - 4)^5$

Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = (-x + 4)^5 - (-x - 4)^5 = (-(x - 4))^5 - (-(x + 4))^5 = -(x - 4)^5 - (-(x + 4)^5) = -(x - 4)^5 + (x + 4)^5 = (x + 4)^5 - (x - 4)^5 = f(x)$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная.

7) $f(x) = \frac{x^2 + 8x}{2x + 16}$

Найдем область определения: $2x + 16 \neq 0 \Rightarrow 2x \neq -16 \Rightarrow x \neq -8$.

$D(f) = (-\infty; -8) \cup (-8; +\infty)$.

Область определения не является симметричной относительно нуля (например, точка $x=8$ принадлежит области определения, а точка $x=-8$ не принадлежит). Следовательно, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: ни чётная, ни нечётная.

8) $f(x) = (x - 8)(x + 6) + 2x$

Упростим выражение: $f(x) = x^2 + 6x - 8x - 48 + 2x = x^2 - 48$.

Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = (-x)^2 - 48 = x^2 - 48 = f(x)$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная.

9) $f(x) = (x + 6)|x - 7| - (x - 6)|x + 7|$

Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = (-x + 6)|-x - 7| - (-x - 6)|-x + 7|$.

Используя свойство модуля $|-a| = |a|$, получаем: $|-x - 7| = |-(x+7)| = |x+7|$ и $|-x + 7| = |-(x-7)| = |x-7|$.

$f(-x) = (-x + 6)|x + 7| - (-(x + 6))|x - 7| = -(x - 6)|x + 7| + (x + 6)|x - 7| = (x + 6)|x - 7| - (x - 6)|x + 7| = f(x)$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная.

10) $f(x) = \frac{6x - 7}{x^2 + 4x + 16} - \frac{6x + 7}{x^2 - 4x + 16}$

Найдем область определения. Дискриминант знаменателей $x^2 + 4x + 16$ и $x^2 - 4x + 16$ отрицателен ($D = 16 - 4 \cdot 16 = -48 < 0$), поэтому знаменатели никогда не равны нулю. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \frac{6(-x) - 7}{(-x)^2 + 4(-x) + 16} - \frac{6(-x) + 7}{(-x)^2 - 4(-x) + 16} = \frac{-6x - 7}{x^2 - 4x + 16} - \frac{-6x + 7}{x^2 + 4x + 16}$.

$f(-x) = -\frac{6x + 7}{x^2 - 4x + 16} - (-\frac{6x - 7}{x^2 + 4x + 16}) = -\frac{6x + 7}{x^2 - 4x + 16} + \frac{6x - 7}{x^2 + 4x + 16}$.

Поменяв слагаемые местами, получаем: $f(-x) = \frac{6x - 7}{x^2 + 4x + 16} - \frac{6x + 7}{x^2 - 4x + 16} = f(x)$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная.