Номер 6, страница 109 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

6. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^2 - 4x + 2$ на промежутке:

1) $[-3; 1]$;

2) $[1; 3]$;

3) $[4; 6]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений квадратичной функции $y = x^2 - 4x + 2$ на заданных промежутках, сначала определим координаты вершины параболы. Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (1 > 0). Следовательно, в вершине параболы функция достигает своего наименьшего значения на всей области определения.

Координата x вершины параболы вычисляется по формуле $x_v = -b / (2a)$. В нашем случае $a=1$ и $b=-4$, поэтому:
$x_v = -(-4) / (2 \cdot 1) = 4 / 2 = 2$.
Координата y вершины (наименьшее значение функции):
$y_v = y(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 2 = 4 - 8 + 2 = -2$.
Итак, вершина параболы находится в точке $(2; -2)$.

Теперь рассмотрим каждый промежуток отдельно. Наибольшее и наименьшее значения на отрезке достигаются либо в вершине параболы (если она принадлежит отрезку), либо на его концах.

1) [-3; 1]

Вершина параболы $x_v = 2$ не принадлежит этому промежутку. Поскольку вершина находится правее промежутка ($2 > 1$), а ветви параболы направлены вверх, функция на отрезке $[-3; 1]$ монотонно убывает. Следовательно, наибольшее значение достигается на левом конце промежутка ($x = -3$), а наименьшее — на правом ($x = 1$).

Вычислим значения функции на концах промежутка:
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-3) = (-3)^2 - 4(-3) + 2 = 9 + 12 + 2 = 23$.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(1) = 1^2 - 4(1) + 2 = 1 - 4 + 2 = -1$.
Ответ: $y_{наим} = -1$, $y_{наиб} = 23$.

2) [1; 3]

Вершина параболы $x_v = 2$ принадлежит этому промежутку ($1 \le 2 \le 3$). Так как в вершине достигается минимум функции, то наименьшее значение на этом отрезке будет равно значению функции в вершине.
$y_{наим} = y(2) = -2$.

Наибольшее значение будет достигаться на одном из концов промежутка. Вычислим значения функции на концах и сравним их:
$y(1) = 1^2 - 4(1) + 2 = 1 - 4 + 2 = -1$.
$y(3) = 3^2 - 4(3) + 2 = 9 - 12 + 2 = -1$.
Наибольшее значение на отрезке равно -1.
Ответ: $y_{наим} = -2$, $y_{наиб} = -1$.

3) [4; 6]

Вершина параболы $x_v = 2$ не принадлежит этому промежутку. Поскольку вершина находится левее промежутка ($2 < 4$), а ветви параболы направлены вверх, функция на отрезке $[4; 6]$ монотонно возрастает. Следовательно, наименьшее значение достигается на левом конце промежутка ($x = 4$), а наибольшее — на правом ($x = 6$).

Вычислим значения функции на концах промежутка:
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(4) = 4^2 - 4(4) + 2 = 16 - 16 + 2 = 2$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(6) = 6^2 - 4(6) + 2 = 36 - 24 + 2 = 14$.
Ответ: $y_{наим} = 2$, $y_{наиб} = 14$.