Номер 8, страница 109 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

8. Докажите, что является нечётной функция:

1) $f(x) = -4x^3 + 2x;$

2) $f(x) = \frac{x^3 + 3x}{2x^2 + 1};$

3) $f(x) = \frac{4}{3 - 2x} - \frac{4}{3 + 2x};$

4) $f(x) = \sqrt{9 - x} - \sqrt{9 + x};$

5) $f(x) = 2x + \frac{x}{|x|};$

6) $f(x) = \frac{5x^2}{|x + 1| - |x - 1|}.$

Функция $f(x)$ называется нечётной, если для любого $x$ из её области определения $D(f)$ выполняются два условия:

1. Область определения симметрична относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Для любого $x \in D(f)$ выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Проверим эти условия для каждой из заданных функций.

1) $f(x) = -4x^3 + 2x$

1. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как это многочлен. Эта область симметрична относительно нуля.

2. Проверим выполнение равенства $f(-x) = -f(x)$:
$f(-x) = -4(-x)^3 + 2(-x) = -4(-x^3) - 2x = 4x^3 - 2x$.
$-f(x) = -(-4x^3 + 2x) = 4x^3 - 2x$.
Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) $f(x) = \frac{x^3 + 3x}{2x^2 + 1}$

1. Область определения $D(f)$: знаменатель дроби $2x^2 + 1 > 0$ при любых значениях $x$. Следовательно, $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Область определения симметрична относительно нуля.

2. Проверим выполнение равенства $f(-x) = -f(x)$:
$f(-x) = \frac{(-x)^3 + 3(-x)}{2(-x)^2 + 1} = \frac{-x^3 - 3x}{2x^2 + 1} = -\frac{x^3 + 3x}{2x^2 + 1}$.
$-f(x) = -\frac{x^3 + 3x}{2x^2 + 1}$.
Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: Что и требовалось доказать.

3) $f(x) = \frac{4}{3 - 2x} - \frac{4}{3 + 2x}$

1. Область определения $D(f)$: знаменатели не должны быть равны нулю. $3 - 2x \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{3}{2}$. $3 + 2x \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{3}{2}$. $D(f) = (-\infty; -1.5) \cup (-1.5; 1.5) \cup (1.5; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

2. Проверим выполнение равенства $f(-x) = -f(x)$:
$f(-x) = \frac{4}{3 - 2(-x)} - \frac{4}{3 + 2(-x)} = \frac{4}{3 + 2x} - \frac{4}{3 - 2x}$.
$-f(x) = -(\frac{4}{3 - 2x} - \frac{4}{3 + 2x}) = -\frac{4}{3 - 2x} + \frac{4}{3 + 2x} = \frac{4}{3 + 2x} - \frac{4}{3 - 2x}$.
Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: Что и требовалось доказать.

4) $f(x) = \sqrt{9 - x} - \sqrt{9 + x}$

1. Область определения $D(f)$: выражения под корнями должны быть неотрицательными. $\begin{cases} 9 - x \ge 0 \\ 9 + x \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \le 9 \\ x \ge -9 \end{cases}$. Таким образом, $D(f) = [-9; 9]$. Этот отрезок симметричен относительно нуля.

2. Проверим выполнение равенства $f(-x) = -f(x)$:
$f(-x) = \sqrt{9 - (-x)} - \sqrt{9 + (-x)} = \sqrt{9 + x} - \sqrt{9 - x}$.
$-f(x) = -(\sqrt{9 - x} - \sqrt{9 + x}) = -\sqrt{9 - x} + \sqrt{9 + x} = \sqrt{9 + x} - \sqrt{9 - x}$.
Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: Что и требовалось доказать.

5) $f(x) = 2x + \frac{x}{|x|}$

1. Область определения $D(f)$: знаменатель не должен быть равен нулю, т.е. $|x| \neq 0$, что означает $x \neq 0$. $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

2. Проверим выполнение равенства $f(-x) = -f(x)$:
$f(-x) = 2(-x) + \frac{-x}{|-x|}$. Так как $|-x| = |x|$, то $f(-x) = -2x - \frac{x}{|x|}$.
$-f(x) = -(2x + \frac{x}{|x|}) = -2x - \frac{x}{|x|}$.
Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: Что и требовалось доказать.

6) $f(x) = \frac{5x^2}{|x + 1| - |x - 1|}$

1. Область определения $D(f)$: знаменатель не должен быть равен нулю. $|x + 1| - |x - 1| \neq 0 \Rightarrow |x + 1| \neq |x - 1|$. Возведя обе части в квадрат, получим $(x + 1)^2 \neq (x - 1)^2$, что равносильно $x^2 + 2x + 1 \neq x^2 - 2x + 1$, или $4x \neq 0$, откуда $x \neq 0$. $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

2. Проверим выполнение равенства $f(-x) = -f(x)$:
$f(-x) = \frac{5(-x)^2}{|-x + 1| - |-x - 1|}$.
Используя свойство модуля $|a| = |-a|$, имеем $|-x + 1| = |x - 1|$ и $|-x - 1| = |x + 1|$. $f(-x) = \frac{5x^2}{|x - 1| - |x + 1|} = \frac{5x^2}{-(|x + 1| - |x - 1|)} = - \frac{5x^2}{|x + 1| - |x - 1|}$.
$-f(x) = - \frac{5x^2}{|x + 1| - |x - 1|}$.
Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: Что и требовалось доказать.