Номер 15, страница 110 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

15. Функция $f$ такова, что $\min_{[2;4]} f(x) = -4$, $\max_{[2;4]} f(x) = 7$.

Найдите $\min_{[-4;-2]} f(x)$, $\max_{[-4;-2]} f(x)$, если:

1) $f$ — чётная функция;

2) $f$ — нечётная функция.

По условию задачи, для функции $f(x)$ на отрезке $[2; 4]$ известны минимальное и максимальное значения:

$\min_{x \in [2; 4]} f(x) = -4$

$\max_{x \in [2; 4]} f(x) = 7$

Необходимо найти минимальное и максимальное значения функции $f(x)$ на отрезке $[-4; -2]$ для двух случаев.

1) f — чётная функция

Чётная функция по определению удовлетворяет равенству $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из её области определения. График такой функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Рассмотрим отрезок $[-4; -2]$. Если $x \in [-4; -2]$, то $-x \in [2; 4]$. В силу чётности функции, значение $f(x)$ в любой точке $x$ из отрезка $[-4; -2]$ равно значению $f(-x)$ в симметричной точке $-x$ из отрезка $[2; 4]$.

Это означает, что множество значений, которые функция принимает на отрезке $[-4; -2]$, в точности совпадает с множеством значений, которые она принимает на отрезке $[2; 4]$. Следовательно, минимальное и максимальное значения функции на этих отрезках будут одинаковыми.

$\min_{x \in [-4; -2]} f(x) = \min_{x \in [2; 4]} f(x) = -4$

$\max_{x \in [-4; -2]} f(x) = \max_{x \in [2; 4]} f(x) = 7$

Ответ: $\min_{x \in [-4; -2]} f(x) = -4$, $\max_{x \in [-4; -2]} f(x) = 7$.

2) f — нечётная функция

Нечётная функция по определению удовлетворяет равенству $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из её области определения. График такой функции симметричен относительно начала координат.

Пусть $x \in [-4; -2]$. Тогда $-x \in [2; 4]$. По условию, для любого $t \in [2; 4]$ справедливо двойное неравенство: $-4 \le f(t) \le 7$.

Поскольку $-x$ принадлежит отрезку $[2; 4]$, мы можем подставить $t = -x$ в это неравенство: $-4 \le f(-x) \le 7$.

Используя свойство нечётности $f(-x) = -f(x)$, заменим $f(-x)$ в неравенстве: $-4 \le -f(x) \le 7$.

Чтобы найти границы для $f(x)$, умножим все части неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные: $(-4) \cdot (-1) \ge (-f(x)) \cdot (-1) \ge 7 \cdot (-1)$ $4 \ge f(x) \ge -7$.

Записав это неравенство в стандартном виде (от меньшего к большему), получаем: $-7 \le f(x) \le 4$.

Это означает, что для любого $x$ из отрезка $[-4; -2]$ значения функции $f(x)$ находятся в пределах от -7 до 4. Таким образом, минимальное значение функции на этом отрезке равно -7, а максимальное — 4.

Ответ: $\min_{x \in [-4; -2]} f(x) = -7$, $\max_{x \in [-4; -2]} f(x) = 4$.