Номер 19, страница 111 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

19. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{x + 1};$

2) $y = \sqrt{x - 2};$

3) $y = \sqrt{x + 2} + 3;$

4) $y = 1 - \sqrt{x + 1};$

5) $y = 1 - \sqrt{-x + 1}.$

Для построения графиков всех указанных функций используется метод преобразования графика базовой функции $y = \sqrt{x}$. График функции $y = \sqrt{x}$ представляет собой верхнюю ветвь параболы $y^2=x$, выходящую из начала координат $(0,0)$ и проходящую через точки $(1,1)$, $(4,2)$, $(9,3)$.

График этой функции получается из графика $y = \sqrt{x}$ путем сдвига (параллельного переноса) на 1 единицу вверх вдоль оси ординат ($Oy$).

Область определения функции: $D(y) = [0; +\infty)$.
Область значений функции: поскольку $\sqrt{x} \ge 0$, то $y = \sqrt{x} + 1 \ge 1$. $E(y) = [1; +\infty)$.

Построение:

1. Строим график функции $y = \sqrt{x}$.
2. Сдвигаем каждую точку графика на 1 единицу вверх.

Начальная точка графика смещается из $(0,0)$ в точку $(0,1)$. Другие контрольные точки: $(1,2)$, $(4,3)$.

Ответ: График функции — это график $y=\sqrt{x}$, сдвинутый на 1 единицу вверх по оси $Oy$. Начало графика в точке $(0,1)$.

График этой функции получается из графика $y = \sqrt{x}$ путем сдвига на 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс ($Ox$).

Область определения функции: $x - 2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$. $D(y) = [2; +\infty)$.
Область значений функции: $E(y) = [0; +\infty)$.

Построение:

1. Строим график функции $y = \sqrt{x}$.
2. Сдвигаем каждую точку графика на 2 единицы вправо.

Начальная точка графика смещается из $(0,0)$ в точку $(2,0)$. Другие контрольные точки: $(3,1)$ (соответствует точке $(1,1)$ на базовом графике), $(6,2)$ (соответствует точке $(4,2)$).

Ответ: График функции — это график $y=\sqrt{x}$, сдвинутый на 2 единицы вправо по оси $Ox$. Начало графика в точке $(2,0)$.

График этой функции получается из графика $y = \sqrt{x}$ путем двух последовательных сдвигов: на 2 единицы влево вдоль оси $Ox$ и на 3 единицы вверх вдоль оси $Oy$.

Область определения функции: $x + 2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$. $D(y) = [-2; +\infty)$.
Область значений функции: $\sqrt{x+2} \ge 0$, значит $y = \sqrt{x+2} + 3 \ge 3$. $E(y) = [3; +\infty)$.

Построение:

1. Строим график функции $y = \sqrt{x}$.
2. Сдвигаем его на 2 единицы влево, получая график $y = \sqrt{x+2}$.
3. Полученный график сдвигаем на 3 единицы вверх, получая искомый график $y = \sqrt{x+2} + 3$.

Начальная точка графика смещается из $(0,0)$ в точку $(-2,3)$. Другие контрольные точки: $(-1,4)$, $(2,5)$.

Ответ: График функции — это график $y=\sqrt{x}$, сдвинутый на 2 единицы влево по оси $Ox$ и на 3 единицы вверх по оси $Oy$. Начало графика в точке $(-2,3)$.

График данной функции можно получить из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$ с помощью последовательности преобразований. Перепишем уравнение в виде $y = -\sqrt{x + 1} + 1$.

Область определения функции: $x + 1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$. $D(y) = [-1; +\infty)$.
Область значений функции: поскольку $\sqrt{x + 1} \ge 0$, то $-\sqrt{x+1} \le 0$, и $y = 1 - \sqrt{x+1} \le 1$. $E(y) = (-\infty; 1]$.

Построение графика выполним в несколько шагов:

1. Строим график базовой функции $y = \sqrt{x}$.
2. Сдвигаем график на 1 единицу влево по оси $Ox$. Получаем график функции $y = \sqrt{x + 1}$.
3. Отражаем полученный график симметрично относительно оси $Ox$. Получаем график функции $y = -\sqrt{x + 1}$. Ветвь параболы теперь направлена вниз.
4. Сдвигаем последний график на 1 единицу вверх по оси $Oy$. Получаем искомый график $y = -\sqrt{x + 1} + 1$.

Начало (вершина) графика находится в точке $(-1, 1)$. Контрольные точки: при $x = 0$, $y = 1 - \sqrt{1} = 0$; при $x = 3$, $y = 1 - \sqrt{4} = -1$. График проходит через точки $(-1, 1)$, $(0, 0)$ и $(3, -1)$.

Ответ: График функции — это ветвь параболы, направленная вниз, с началом в точке $(-1, 1)$.

График этой функции также получается из графика $y = \sqrt{x}$ преобразованиями. Перепишем уравнение в виде $y = -\sqrt{-(x - 1)} + 1$.

Область определения функции: $-x + 1 \ge 0$, то есть $1 \ge x$. $D(y) = (-\infty; 1]$.
Область значений функции: $\sqrt{-x+1} \ge 0$, значит $-\sqrt{-x+1} \le 0$, и $y = 1 - \sqrt{-x+1} \le 1$. $E(y) = (-\infty; 1]$.

Построение графика:

1. Строим график базовой функции $y = \sqrt{x}$.
2. Отражаем его симметрично относительно оси $Oy$, получаем график $y = \sqrt{-x}$.
3. Сдвигаем полученный график на 1 единицу вправо по оси $Ox$, получаем $y = \sqrt{-(x-1)} = \sqrt{-x+1}$.
4. Отражаем последний график симметрично относительно оси $Ox$, получаем $y = -\sqrt{-x+1}$.
5. Сдвигаем этот график на 1 единицу вверх по оси $Oy$, получая искомый график $y = 1 - \sqrt{-x+1}$.

Начало (вершина) графика находится в точке $(1, 1)$. Контрольные точки: при $x=0$, $y=1-\sqrt{1}=0$; при $x=-3$, $y=1-\sqrt{-(-3)+1} = 1-\sqrt{4} = -1$. График проходит через точки $(1, 1)$, $(0, 0)$ и $(-3, -1)$.

Ответ: График функции — это ветвь параболы, направленная влево и вниз, с началом в точке $(1, 1)$.