Номер 26, страница 112 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

26. Какие из функций являются обратимыми:

1) $y = 4x-1$;

2) $y = x^2, x \in [-9; -2)$;

3) $y = x^2, x \in [0; +\infty)$;

4) $y = x^2, x \in [-9; +\infty)$?

Функция является обратимой, если она строго монотонна на всей своей области определения, то есть либо строго возрастает, либо строго убывает. Это гарантирует, что каждому значению $y$ из области значений соответствует ровно одно значение $x$ из области определения. Проанализируем каждую из предложенных функций.

1) $y = 4x - 1$

Эта функция является линейной с угловым коэффициентом $k=4$. Поскольку $k > 0$, функция является строго возрастающей на всей своей области определения (все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$). Для любых $x_1 < x_2$ будет выполняться неравенство $4x_1 - 1 < 4x_2 - 1$. Так как функция строго монотонна, она обратима.

Ответ: функция обратима.

2) $y = x^2, x \in [-9; -2]$

Эта функция является квадратичной (парабола с ветвями вверх), но рассматривается на отрезке $[-9; -2]$. Вершина параболы $y=x^2$ находится в точке $x=0$. На промежутке $(-\infty; 0]$ функция $y=x^2$ строго убывает. Поскольку заданный отрезок $[-9; -2]$ полностью лежит внутри этого промежутка, функция на нем строго убывает. Для любых $x_1, x_2$ из $[-9; -2]$ таких, что $x_1 < x_2$, будет выполняться $x_1^2 > x_2^2$. Так как функция строго монотонна на своей области определения, она обратима.

Ответ: функция обратима.

3) $y = x^2, x \in [0; +\infty)$

Эта функция является квадратичной и рассматривается на луче $[0; +\infty)$. На этом промежутке, который является правой ветвью параболы, функция $y=x^2$ строго возрастает. Для любых $x_1, x_2$ из $[0; +\infty)$ таких, что $x_1 < x_2$, будет выполняться $x_1^2 < x_2^2$. Так как функция строго монотонна на своей области определения, она обратима.

Ответ: функция обратима.

4) $y = x^2, x \in [-9; +\infty)$

Область определения этой функции — луч $[-9; +\infty)$. Этот промежуток включает в себя вершину параболы $x=0$. На части этого промежутка, $[-9; 0]$, функция убывает, а на части, $[0; +\infty)$, она возрастает. Поскольку функция не является строго монотонной на всей своей области определения, она не является обратимой. Например, для разных значений аргумента $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$ (оба принадлежат области определения) мы получаем одно и то же значение функции: $y(-3) = (-3)^2 = 9$ и $y(3) = 3^2 = 9$.

Ответ: функция не является обратимой.