Номер 29, страница 113 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

29. Постройте в одной системе координат график данной функции и график функции, обратной к ней:

1) $y = -2x + 1$;

2) $y = x^2 + 1$, если $x \le 0$.

1) Дана функция $y = -2x + 1$.

Это линейная функция, её график — прямая. Она определена и принимает значения на всем множестве действительных чисел. Чтобы найти обратную функцию, необходимо выразить переменную $x$ через $y$:

$y = -2x + 1$

$2x = 1 - y$

$x = \frac{1 - y}{2}$

$x = -\frac{1}{2}y + \frac{1}{2}$

Теперь, чтобы записать обратную функцию в стандартном виде, поменяем переменные $x$ и $y$ местами:

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$

Для построения графиков в одной системе координат, найдем по две точки для каждой прямой. Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $y=x$.

Для прямой $y = -2x + 1$ возьмем точки: если $x=0$, то $y=1$, точка $(0; 1)$; если $x=1$, то $y=-1$, точка $(1; -1)$.

Для прямой $y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$ возьмем точки: если $x=1$, то $y=0$, точка $(1; 0)$; если $x=-1$, то $y=1$, точка $(-1; 1)$.

Построив эти точки на координатной плоскости и соединив их, получим графики исходной и обратной функций.

Ответ: обратная функция $y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$.

2) Дана функция $y = x^2 + 1$ при условии $x \le 0$.

График этой функции — левая ветвь параболы $y = x^2 + 1$, вершина которой находится в точке $(0; 1)$.

Найдем область определения и область значений функции. Область определения задана условием: $D(y) = (-\infty; 0]$. Так как $x \le 0$, то $x^2 \ge 0$, и $x^2 + 1 \ge 1$. Следовательно, область значений функции: $E(y) = [1; +\infty)$.

Для нахождения обратной функции выразим $x$ через $y$ из уравнения $y = x^2 + 1$:

$x^2 = y - 1$

$x = \pm\sqrt{y - 1}$

Согласно исходному условию $x \le 0$, необходимо выбрать знак "минус" перед корнем:

$x = -\sqrt{y - 1}$

Теперь поменяем местами $x$ и $y$, чтобы записать уравнение обратной функции:

$y = -\sqrt{x - 1}$

Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной: $x \ge 1$. Область значений обратной функции совпадает с областью определения исходной: $y \le 0$.

Для построения графиков определим ключевые точки. График $y = x^2 + 1$ при $x \le 0$ проходит через точки $(0, 1)$, $(-1, 2)$ и $(-2, 5)$. График обратной функции $y = -\sqrt{x - 1}$ является нижней ветвью параболы, ветви которой направлены вправо, с вершиной в точке $(1, 0)$ и проходит через точки $(2, -1)$ и $(5, -2)$. Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: обратная функция $y = -\sqrt{x - 1}$.