Номер 36, страница 115 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

36. Решите неравенство:

1) $(x^2 + 7x)(x^2 - 25) \le 0$;

2) $(x^2 + 6x + 5)(x^2 - 3x) > 0$;

3) $(x^2 + 9x + 18)(x^2 + 4x + 5) \ge 0$;

4) $\frac{x^2 + 10x + 9}{x^2 - 4x + 3} < 0$;

5) $\frac{x^2 + x - 12}{x^2 - 64} \ge 0.$

1) Решим неравенство $(x^2 + 7x)(x^2 - 25) \le 0$.
Для начала разложим каждый из множителей на более простые:
$x^2 + 7x = x(x + 7)$
$x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$ (разность квадратов)
Таким образом, неравенство принимает вид: $x(x + 7)(x - 5)(x + 5) \le 0$.
Для решения используем метод интервалов. Найдём корни левой части, то есть значения $x$, при которых выражение равно нулю:
$x = 0$, $x = -7$, $x = 5$, $x = -5$.
Отметим эти точки на числовой прямой в порядке возрастания: -7, -5, 0, 5. Поскольку неравенство нестрогое ($\le$), все точки будут включены в решение (закрашенные).
Эти точки делят числовую прямую на пять интервалов: $(-\infty; -7]$, $[-7; -5]$, $[-5; 0]$, $[0; 5]$, $[5; +\infty)$.
Определим знак выражения на каждом интервале. Возьмём точку из крайнего правого интервала, например $x=6$:
$6(6 + 7)(6 - 5)(6 + 5) = 6 \cdot 13 \cdot 1 \cdot 11 > 0$. Знак "+".
Все корни имеют кратность 1 (нечётную), поэтому при переходе через каждый корень знак будет меняться:
- на $(-\infty; -7)$ знак "+"
- на $(-7; -5)$ знак "-­"
- на $(-5; 0)$ знак "+"
- на $(0; 5)$ знак "-­"
- на $(5; +\infty)$ знак "+"
Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю. Это $[-7, -5]$ и $[0, 5]$.
Ответ: $x \in [-7, -5] \cup [0, 5]$.

2) Решим неравенство $(x^2 + 6x + 5)(x^2 - 3x) > 0$.
Разложим каждый множитель на множители:
Для $x^2 + 6x + 5$, найдём корни уравнения $x^2 + 6x + 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = -5$. Тогда $x^2 + 6x + 5 = (x + 1)(x + 5)$.
$x^2 - 3x = x(x - 3)$.
Неравенство принимает вид: $(x + 5)(x + 1)x(x - 3) > 0$.
Найдём корни левой части: $x = -5$, $x = -1$, $x = 0$, $x = 3$.
Отметим эти точки на числовой прямой. Неравенство строгое ($>$), поэтому все точки будут выколотыми.
Точки -5, -1, 0, 3 делят прямую на интервалы. Определим знаки на этих интервалах.
При $x > 3$ (например, $x=4$): $(+)(+)(+)(+) > 0$. Знак "+".
Все корни имеют нечётную кратность, поэтому знаки чередуются: +, -, +, -, +.
Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля.
Ответ: $x \in (-\infty, -5) \cup (-1, 0) \cup (3, +\infty)$.

3) Решим неравенство $(x^2 + 9x + 18)(x^2 + 4x + 5) \ge 0$.
Рассмотрим каждый множитель отдельно.
Для $x^2 + 9x + 18$, найдём корни уравнения $x^2 + 9x + 18 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = -6$. Тогда $x^2 + 9x + 18 = (x + 3)(x + 6)$.
Для $x^2 + 4x + 5$, найдём дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.
Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$) и коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$), квадратный трёхчлен $x^2 + 4x + 5$ положителен при любых значениях $x$.
Так как $x^2 + 4x + 5 > 0$ всегда, мы можем разделить обе части неравенства на это выражение, при этом знак неравенства не изменится:
$(x + 3)(x + 6) \ge 0$.
Корни этого выражения: $x = -6$ и $x = -3$. Графиком функции $y=(x+3)(x+6)$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции неотрицательны, когда $x$ находится левее меньшего корня или правее большего корня (включая сами корни).
Ответ: $x \in (-\infty, -6] \cup [-3, +\infty)$.

4) Решим неравенство $\frac{x^2 + 10x + 9}{x^2 - 4x + 3} < 0$.
Разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель $x^2 + 10x + 9$: корни $x_1 = -1, x_2 = -9$. $x^2 + 10x + 9 = (x + 1)(x + 9)$.
Знаменатель $x^2 - 4x + 3$: корни $x_1 = 1, x_2 = 3$. $x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)$.
Неравенство принимает вид: $\frac{(x + 9)(x + 1)}{(x - 1)(x - 3)} < 0$.
Применим метод интервалов. Найдём нули числителя ($x=-9, x=-1$) и нули знаменателя ($x=1, x=3$).
Отметим все точки на числовой прямой: -9, -1, 1, 3. Все точки выколотые, так как неравенство строгое, а знаменатель не может быть равен нулю.
Определим знаки дроби на полученных интервалах. При $x > 3$ (например, $x=4$): $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$. Знак "+".
Все корни нечётной кратности, знаки чередуются: +, -, +, -, +.
Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля.
Ответ: $x \in (-9, -1) \cup (1, 3)$.

5) Решим неравенство $\frac{x^2 + x - 12}{x^2 - 64} \ge 0$.
Разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель $x^2 + x - 12$: корни $x_1 = 3, x_2 = -4$. $x^2 + x - 12 = (x - 3)(x + 4)$.
Знаменатель $x^2 - 64$: $x^2 - 64 = (x - 8)(x + 8)$.
Неравенство принимает вид: $\frac{(x + 4)(x - 3)}{(x + 8)(x - 8)} \ge 0$.
Применим метод интервалов. Нули числителя: $x = -4, x = 3$. Нули знаменателя: $x = -8, x = 8$.
Отметим точки на числовой прямой. Нули знаменателя (-8, 8) всегда выколотые. Нули числителя (-4, 3) закрашенные, так как неравенство нестрогое ($\ge$).
Точки в порядке возрастания: -8, -4, 3, 8.
Определим знаки. При $x > 8$ (например, $x=10$): $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$. Знак "+".
Знаки чередуются: +, -, +, -, +.
Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю.
Ответ: $x \in (-\infty, -8) \cup [-4, 3] \cup (8, +\infty)$.