Номер 41, страница 116 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

41. Решите неравенство:

1) $\frac{x^2 - 6x + 8}{|x - 8|} \ge 0;$

2) $\frac{|x + 1|}{x^2 + 4x - 12} \ge 0;$

3) $\frac{x^2 - 6x - 7}{|x + 2|(x - 4)} \le 0.$

1) $\frac{x^2 - 6x + 8}{|x - 8|} \ge 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $|x - 8| \ne 0$, что означает $x \ne 8$.

Выражение в знаменателе $|x - 8|$ всегда положительно при $x \ne 8$. Следовательно, знак всей дроби зависит только от знака числителя. Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 6x + 8 \ge 0 \\ x \ne 8 \end{cases}$

Решим квадратное неравенство $x^2 - 6x + 8 \ge 0$. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 6, а произведение равно 8. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 4$.

Парабола $y = x^2 - 6x + 8$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает неотрицательные значения при $x \le 2$ или $x \ge 4$. Таким образом, решение неравенства $x^2 - 6x + 8 \ge 0$ есть объединение промежутков $(-\infty, 2] \cup [4, \infty)$.

Теперь учтем условие $x \ne 8$. Точка $x=8$ входит в промежуток $[4, \infty)$, поэтому ее необходимо исключить.

Объединяя решения, получаем: $x \in (-\infty, 2] \cup [4, 8) \cup (8, \infty)$.

Ответ: $(-\infty, 2] \cup [4, 8) \cup (8, \infty)$.

2) $\frac{|x + 1|}{x^2 + 4x - 12} \ge 0$

Найдем ОДЗ. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^2 + 4x - 12 \ne 0$.

Решим уравнение $x^2 + 4x - 12 = 0$. Дискриминант $D = 4^2 - 4(1)(-12) = 16 + 48 = 64$.

Корни: $x_1 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2} = \frac{-4 - 8}{2} = -6$, $x_2 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-4 + 8}{2} = 2$.

Таким образом, ОДЗ: $x \ne -6$ и $x \ne 2$.

Числитель $|x + 1|$ всегда неотрицателен, т.е. $|x + 1| \ge 0$ для любого $x$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: Дробь равна нулю. Это возможно, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$|x + 1| = 0 \Rightarrow x = -1$.

Проверим, входит ли $x=-1$ в ОДЗ. Знаменатель при $x=-1$ равен $(-1)^2 + 4(-1) - 12 = 1 - 4 - 12 = -15 \ne 0$. Следовательно, $x=-1$ является решением неравенства.

Случай 2: Дробь строго больше нуля.

$\frac{|x + 1|}{x^2 + 4x - 12} > 0$.

Так как $|x+1| > 0$ при $x \ne -1$, для выполнения неравенства необходимо, чтобы знаменатель был строго положителен:

$x^2 + 4x - 12 > 0$.

Мы уже нашли корни этого квадратного трехчлена: $x_1 = -6$ и $x_2 = 2$. Парабола $y=x^2 + 4x - 12$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -6) \cup (2, \infty)$.

Объединим решения из обоих случаев. Получаем решение $x=-1$ и интервалы $(-\infty, -6) \cup (2, \infty)$.

Ответ: $(-\infty, -6) \cup \{-1\} \cup (2, \infty)$.

3) $\frac{x^2 - 6x - 7}{|x + 2|(x - 4)} \le 0$

Найдем ОДЗ. Знаменатель не равен нулю:

$|x + 2| \ne 0 \Rightarrow x \ne -2$.

$x - 4 \ne 0 \Rightarrow x \ne 4$.

Выражение $|x+2|$ всегда положительно при $x \ne -2$. Так как оно находится в знаменателе и всегда положительно (в рамках ОДЗ), оно не влияет на знак дроби. Таким образом, неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} \frac{x^2 - 6x - 7}{x - 4} \le 0 \\ x \ne -2 \end{cases}$

Решим неравенство $\frac{x^2 - 6x - 7}{x - 4} \le 0$ методом интервалов.

Найдем нули числителя: $x^2 - 6x - 7 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 6, а произведение -7. Корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 7$.

Найдем нуль знаменателя: $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$.

Нанесем точки $-1, 4, 7$ на числовую ось. Точки $-1$ и $7$ (нули числителя) будут закрашенными, так как неравенство нестрогое. Точка $4$ (нуль знаменателя) будет выколотой.

Разложим числитель на множители: $\frac{(x+1)(x-7)}{x-4} \le 0$.

Определим знаки на интервалах:

• При $x > 7$ (например, $x=8$): $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$.
• При $4 < x < 7$ (например, $x=5$): $\frac{(+)(-)}{(+)} < 0$. Этот интервал подходит.
• При $-1 < x < 4$ (например, $x=0$): $\frac{(+)(-)}{(-)} > 0$.
• При $x < -1$ (например, $x=-2$ - но оно исключено, возьмем $x=-3$): $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$. Этот интервал подходит.

Решение неравенства $\frac{x^2 - 6x - 7}{x - 4} \le 0$ есть $(-\infty, -1] \cup (4, 7]$.

Теперь учтем ограничение ОДЗ $x \ne -2$. Точка $x=-2$ находится в промежутке $(-\infty, -1]$, поэтому ее нужно исключить.

Итоговое решение: $(-\infty, -2) \cup (-2, -1] \cup (4, 7]$.

Ответ: $(-\infty, -2) \cup (-2, -1] \cup (4, 7]$.