Номер 34, страница 114 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

34. Решите неравенство:

1) $(x - 4,6)(x + 5) \leq 0;$

2) $(x + 12)(x - 4)(x - 20) > 0;$

3) $(3x + 5)(2x - 7)(x - 6) \leq 0;$

4) $(7 + x)(x - 2)(5 - x) > 0;$

5) $(x + 7,2)(3 - x)(6 - x) \leq 0;$

6) $(6x + 18)(4 - 16x)(7x - 21)(5 - 2x) \geq 0.$

1) $(x - 4,6)(x + 5) \le 0$

Для решения неравенства используем метод интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(x - 4,6)(x + 5) = 0$.

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$x - 4,6 = 0 \implies x_1 = 4,6$

$x + 5 = 0 \implies x_2 = -5$

Отметим найденные корни на числовой прямой. Эти точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; -5)$, $(-5; 4,6)$ и $(4,6; +\infty)$. Определим знак выражения в каждом из интервалов.

• В интервале $(4,6; +\infty)$, например при $x=5$: $(5 - 4,6)(5 + 5) = 0,4 \cdot 10 = 4 > 0$. Знак «+».
• В интервале $(-5; 4,6)$, например при $x=0$: $(0 - 4,6)(0 + 5) = -4,6 \cdot 5 = -23 < 0$. Знак «-».
• В интервале $(-\infty; -5)$, например при $x=-6$: $(-6 - 4,6)(-6 + 5) = -10,6 \cdot (-1) = 10,6 > 0$. Знак «+».

Нас интересует промежуток, где значение выражения меньше или равно нулю ($\le 0$). Это интервал со знаком «-». Поскольку неравенство нестрогое, концы интервала включаются в решение.

Ответ: $x \in [-5; 4,6]$.

2) $(x + 12)(x - 4)(x - 20) > 0$

Решаем методом интервалов. Найдем корни уравнения $(x + 12)(x - 4)(x - 20) = 0$.

$x + 12 = 0 \implies x_1 = -12$

$x - 4 = 0 \implies x_2 = 4$

$x - 20 = 0 \implies x_3 = 20$

Отметим корни $-12, 4, 20$ на числовой прямой. Определим знак выражения в крайнем правом интервале $(20; +\infty)$, взяв, например, $x=21$: $(21 + 12)(21 - 4)(21 - 20) > 0$. Знак «+».

Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки в интервалах будут чередоваться: -, +, -, +.

Нас интересуют промежутки, где выражение строго больше нуля ($> 0$). Это интервалы со знаком «+».

Ответ: $x \in (-12; 4) \cup (20; +\infty)$.

3) $(3x + 5)(2x - 7)(x - 6) \le 0$

Найдем корни уравнения $(3x + 5)(2x - 7)(x - 6) = 0$.

$3x + 5 = 0 \implies x_1 = -5/3$

$2x - 7 = 0 \implies x_2 = 7/2 = 3,5$

$x - 6 = 0 \implies x_3 = 6$

Расположим корни на числовой прямой: $-5/3, 3,5, 6$. В крайнем правом интервале $(6; +\infty)$ выражение положительно. Знаки в интервалах чередуются: -, +, -, +.

Нам нужны промежутки, где выражение меньше или равно нулю ($\le 0$). Это интервалы со знаком «-», включая концы.

Ответ: $x \in (-\infty; -5/3] \cup [3,5; 6]$.

4) $(7 + x)(x - 2)(5 - x) > 0$

Преобразуем неравенство, чтобы коэффициент при $x$ в каждом множителе был положительным. Заметим, что $5 - x = -(x - 5)$.

$(x + 7)(x - 2)(-(x - 5)) > 0$

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства:

$(x + 7)(x - 2)(x - 5) < 0$

Найдем корни уравнения $(x + 7)(x - 2)(x - 5) = 0$: $x_1 = -7, x_2 = 2, x_3 = 5$.

Отметим корни на числовой прямой. В крайнем правом интервале $(5; +\infty)$ выражение положительно. Знаки чередуются: -, +, -, +.

Нас интересуют промежутки, где выражение $(x + 7)(x - 2)(x - 5)$ меньше нуля ($< 0$). Это интервалы со знаком «-».

Ответ: $x \in (-\infty; -7) \cup (2; 5)$.

5) $(x + 7,2)(3 - x)(6 - x) \le 0$

Преобразуем множители: $3 - x = -(x - 3)$ и $6 - x = -(x - 6)$.

Неравенство принимает вид: $(x + 7,2)(-(x - 3))(-(x - 6)) \le 0$.

Поскольку $(-1) \cdot (-1) = 1$, неравенство эквивалентно следующему:

$(x + 7,2)(x - 3)(x - 6) \le 0$

Найдем корни уравнения $(x + 7,2)(x - 3)(x - 6) = 0$: $x_1 = -7,2, x_2 = 3, x_3 = 6$.

Применяем метод интервалов. В крайнем правом интервале $(6; +\infty)$ выражение положительно. Знаки чередуются: -, +, -, +.

Нас интересуют промежутки, где выражение меньше или равно нулю ($\le 0$). Это интервалы со знаком «-», включая концы.

Ответ: $x \in (-\infty; -7,2] \cup [3; 6]$.

6) $(6x + 18)(4 - 16x)(7x - 21)(5 - 2x) \ge 0$

Упростим выражение, вынеся общие множители из каждой скобки:

$6(x + 3) \cdot 4(1 - 4x) \cdot 7(x - 3) \cdot (5 - 2x) \ge 0$

Разделим обе части на положительное число $6 \cdot 4 \cdot 7 = 168$:

$(x + 3)(1 - 4x)(x - 3)(5 - 2x) \ge 0$

Приведем множители к стандартному виду: $1 - 4x = -(4x - 1)$ и $5 - 2x = -(2x - 5)$.

$(x + 3)(-(4x - 1))(x - 3)(-(2x - 5)) \ge 0$

Так как $(-1) \cdot (-1) = 1$, неравенство равносильно:

$(x + 3)(4x - 1)(x - 3)(2x - 5) \ge 0$

Найдем корни уравнения: $x_1 = -3$, $x_2 = 1/4$, $x_3 = 3$, $x_4 = 5/2 = 2,5$.

Расположим корни на числовой прямой в порядке возрастания: -3, 1/4, 2,5, 3. В крайнем правом интервале $(3; +\infty)$ выражение положительно. Знаки чередуются: +, -, +, -, +.

Нас интересуют промежутки, где выражение больше или равно нулю ($\ge 0$). Это интервалы со знаком «+», включая концы.

Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup [1/4; 5/2] \cup [3; +\infty)$.