Номер 32, страница 114 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

32. Какое из двух уравнений является следствием другого:

1) $x^5 = 16x^3$ и $x^2 = 16;$

2) $\frac{x + 9}{x + 9} = 1$ и $x - x = 0;$

3) $|x + 4| = 3$ и $(x + 4)^3 = 27;$

4) $\frac{x}{\sqrt{x - 5}} = \frac{25}{\sqrt{x - 5}}$ и $x = 25;$

5) $x^2 = 49$ и $x^2 - \frac{1}{\sqrt{x + 5}} = 49 - \frac{1}{\sqrt{x + 5}};$

6) $\sqrt{x + 21} \cdot \sqrt{x - 12} = 0$ и $\sqrt{(x - 12)(x + 21)} = 0;$

7) $(x - 9)\sqrt{x + 34} = 0$ и $(x + 34)\sqrt{x - 9} = 0?

Проанализируем каждую пару уравнений, чтобы определить, является ли одно из них следствием другого. Уравнение $A$ является следствием уравнения $B$, если множество корней уравнения $B$ является подмножеством множества корней уравнения $A$.

Решим первое уравнение: $x^5 = 16x^3$. Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель: $x^5 - 16x^3 = 0$, что равносильно $x^3(x^2 - 16) = 0$. Отсюда получаем, что либо $x^3 = 0$, либо $x^2 - 16 = 0$. Корни уравнения: $x = 0$, $x = 4$, $x = -4$. Множество решений первого уравнения $S_1 = \{-4, 0, 4\}$.

Решим второе уравнение: $x^2 = 16$. Корни этого уравнения: $x = 4$ и $x = -4$. Множество решений второго уравнения $S_2 = \{-4, 4\}$.

Так как множество решений второго уравнения $S_2$ является подмножеством множества решений первого уравнения $S_1$ ($S_2 \subset S_1$), то первое уравнение является следствием второго. Обратное неверно, так как $x=0$ является решением первого уравнения, но не второго.

Ответ: Первое уравнение $x^5 = 16x^3$ является следствием второго $x^2 = 16$.

Решим первое уравнение: $\frac{x+9}{x+9} = 1$. Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения: $x+9 \neq 0$, то есть $x \neq -9$. На этой области уравнение является тождеством $1=1$. Таким образом, решением являются все действительные числа, кроме $x = -9$. Множество решений $S_1 = (-\infty, -9) \cup (-9, +\infty)$.

Решим второе уравнение: $x-x = 0$. Это уравнение упрощается до $0=0$, что является верным тождеством для любого действительного числа $x$. Множество решений $S_2 = (-\infty, +\infty)$ или $S_2 = \mathbb{R}$.

Так как множество решений первого уравнения $S_1$ является подмножеством множества решений второго уравнения $S_2$ ($S_1 \subset S_2$), то второе уравнение является следствием первого.

Ответ: Второе уравнение $x - x = 0$ является следствием первого $\frac{x+9}{x+9} = 1$.

Решим первое уравнение: $|x+4| = 3$. Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $x+4 = 3$ или $x+4 = -3$. Решая их, получаем $x = -1$ и $x = -7$. Множество решений $S_1 = \{-7, -1\}$.

Решим второе уравнение: $(x+4)^3 = 27$. Извлекая кубический корень из обеих частей, получаем $x+4 = \sqrt[3]{27}$, то есть $x+4 = 3$. Отсюда $x = -1$. Множество решений $S_2 = \{-1\}$.

Так как $S_2 \subset S_1$, то первое уравнение является следствием второго.

Ответ: Первое уравнение $|x+4| = 3$ является следствием второго $(x+4)^3 = 27$.

Решим первое уравнение: $\frac{x}{\sqrt{x-5}} = \frac{25}{\sqrt{x-5}}$. ОДЗ: $x-5 > 0$, то есть $x > 5$. На этой области можно умножить обе части на $\sqrt{x-5}$, получив $x = 25$. Это значение удовлетворяет ОДЗ ($25>5$), поэтому является корнем. Множество решений $S_1 = \{25\}$.

Решим второе уравнение: $x = 25$. Множество решений $S_2 = \{25\}$.

Так как $S_1 = S_2$, уравнения являются равносильными (эквивалентными). Это означает, что каждое уравнение является следствием другого.

Ответ: Уравнения равносильны, каждое является следствием другого.

Решим первое уравнение: $x^2 = 49$. Корни: $x = 7$ и $x = -7$. Множество решений $S_1 = \{-7, 7\}$.

Решим второе уравнение: $x^2 - \frac{1}{\sqrt{x+5}} = 49 - \frac{1}{\sqrt{x+5}}$. ОДЗ: $x+5 > 0$, то есть $x > -5$. На этой области можно прибавить к обеим частям $\frac{1}{\sqrt{x+5}}$, получив $x^2 = 49$. Корни этого уравнения $x=7$ и $x=-7$. Проверяем по ОДЗ: $x=7$ подходит ($7>-5$), а $x=-7$ не подходит ($-7$ не больше $-5$). Таким образом, единственным решением является $x=7$. Множество решений $S_2 = \{7\}$.

Так как $S_2 \subset S_1$, то первое уравнение является следствием второго.

Ответ: Первое уравнение $x^2 = 49$ является следствием второго $x^2 - \frac{1}{\sqrt{x+5}} = 49 - \frac{1}{\sqrt{x+5}}$.

Решим первое уравнение: $\sqrt{x+21} \cdot \sqrt{x-12} = 0$. ОДЗ определяется системой неравенств: $x+21 \ge 0$ и $x-12 \ge 0$. Отсюда $x \ge -21$ и $x \ge 12$. Итоговая ОДЗ: $x \ge 12$. На этой области произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю: $\sqrt{x+21}=0$ или $\sqrt{x-12}=0$. Первое дает $x=-21$, что не входит в ОДЗ. Второе дает $x=12$, что входит в ОДЗ. Множество решений $S_1 = \{12\}$.

Решим второе уравнение: $\sqrt{(x-12)(x+21)} = 0$. ОДЗ: $(x-12)(x+21) \ge 0$. Решая методом интервалов, получаем $x \in (-\infty, -21] \cup [12, \infty)$. Возведя обе части в квадрат, получаем $(x-12)(x+21)=0$, откуда $x=12$ или $x=-21$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ. Множество решений $S_2 = \{-21, 12\}$.

Так как $S_1 \subset S_2$, то второе уравнение является следствием первого.

Ответ: Второе уравнение $\sqrt{(x-12)(x+21)} = 0$ является следствием первого $\sqrt{x+21} \cdot \sqrt{x-12} = 0$.

Решим первое уравнение: $(x-9)\sqrt{x+34} = 0$. ОДЗ: $x+34 \ge 0$, то есть $x \ge -34$. Произведение равно нулю, если $x-9=0$ или $\sqrt{x+34}=0$. Отсюда $x=9$ (удовлетворяет ОДЗ) и $x=-34$ (удовлетворяет ОДЗ). Множество решений $S_1 = \{-34, 9\}$.

Решим второе уравнение: $(x+34)\sqrt{x-9} = 0$. ОДЗ: $x-9 \ge 0$, то есть $x \ge 9$. Произведение равно нулю, если $x+34=0$ или $\sqrt{x-9}=0$. Первое дает $x=-34$, что не входит в ОДЗ. Второе дает $x=9$, что входит в ОДЗ. Множество решений $S_2 = \{9\}$.

Так как $S_2 \subset S_1$, то первое уравнение является следствием второго.

Ответ: Первое уравнение $(x-9)\sqrt{x+34} = 0$ является следствием второго $(x+34)\sqrt{x-9} = 0$.