Номер 35, страница 115 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

35. Найдите множество решений неравенства:

1) $\frac{x - 3}{x + 5} > 0;$

2) $\frac{x + 7}{x - 10} < 0;$

3) $\frac{x - 5,6}{x + 1,4} \ge 0;$

4) $\frac{x - 2,3}{x + 7,4} \le 0;$

5) $\frac{9 - x}{x - 20} \ge 0;$

6) $\frac{(x - 4)(x + 6)}{x + 4} \ge 0;$

7) $\frac{x - 4,6}{(x + 8)(x - 15)} \le 0;$

8) $\frac{x + 6,1}{(14 - x)(x - 16)} \ge 0.$

1) Решим неравенство $\frac{x-3}{x+5} > 0$ методом интервалов.
Найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль. Это точки $x=3$ (нуль числителя) и $x=-5$ (нуль знаменателя).
Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -5)$, $(-5; 3)$ и $(3; \infty)$.
Определим знак дроби в каждом интервале:
- При $x \in (-\infty; -5)$ (например, $x=-6$), дробь положительна: $\frac{-}{-} > 0$.
- При $x \in (-5; 3)$ (например, $x=0$), дробь отрицательна: $\frac{-}{+} < 0$.
- При $x \in (3; \infty)$ (например, $x=4$), дробь положительна: $\frac{+}{+} > 0$.
Поскольку неравенство строгое ($>$), искомые значения $x$ находятся в интервалах, где дробь положительна. Концевые точки не включаются.
Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (3; \infty)$.

2) Решим неравенство $\frac{x+7}{x-10} < 0$ методом интервалов.
Нули числителя и знаменателя: $x=-7$ и $x=10$.
Интервалы: $(-\infty; -7)$, $(-7; 10)$ и $(10; \infty)$.
Определим знаки дроби:
- При $x \in (-\infty; -7)$: $\frac{-}{-} > 0$.
- При $x \in (-7; 10)$: $\frac{+}{-} < 0$.
- При $x \in (10; \infty)$: $\frac{+}{+} > 0$.
Неравенство строгое ($<$), поэтому выбираем интервал, где дробь отрицательна. Концевые точки не включаются.
Ответ: $x \in (-7; 10)$.

3) Решим неравенство $\frac{x-5,6}{x+1,4} \geq 0$ методом интервалов.
Нули числителя и знаменателя: $x=5,6$ и $x=-1,4$.
Интервалы: $(-\infty; -1,4)$, $(-1,4; 5,6)$ и $(5,6; \infty)$.
Определим знаки дроби:
- При $x \in (-\infty; -1,4)$: $\frac{-}{-} > 0$.
- При $x \in (-1,4; 5,6)$: $\frac{-}{+} < 0$.
- При $x \in (5,6; \infty)$: $\frac{+}{+} > 0$.
Неравенство нестрогое ($\geq$), поэтому выбираем интервалы, где дробь положительна, и включаем нуль числителя. Нуль знаменателя ($x=-1,4$) всегда исключается.
Ответ: $x \in (-\infty; -1,4) \cup [5,6; \infty)$.

4) Решим неравенство $\frac{x-2,3}{x+7,4} \leq 0$ методом интервалов.
Нули числителя и знаменателя: $x=2,3$ и $x=-7,4$.
Интервалы: $(-\infty; -7,4)$, $(-7,4; 2,3)$ и $(2,3; \infty)$.
Определим знаки дроби:
- При $x \in (-\infty; -7,4)$: $\frac{-}{-} > 0$.
- При $x \in (-7,4; 2,3)$: $\frac{-}{+} < 0$.
- При $x \in (2,3; \infty)$: $\frac{+}{+} > 0$.
Неравенство нестрогое ($\leq$), поэтому выбираем интервал, где дробь отрицательна, и включаем нуль числителя. Нуль знаменателя ($x=-7,4$) исключается.
Ответ: $x \in (-7,4; 2,3]$.

5) Решим неравенство $\frac{9-x}{x-20} \geq 0$.
Чтобы использовать стандартный метод интервалов, приведем выражение к виду, где коэффициент при $x$ в каждом сомножителе положителен. Умножим неравенство на -1 и сменим знак:
$\frac{-(x-9)}{x-20} \geq 0 \implies \frac{x-9}{x-20} \leq 0$.
Нули числителя и знаменателя: $x=9$ и $x=20$.
Интервалы: $(-\infty; 9)$, $(9; 20)$ и $(20; \infty)$.
Определим знаки дроби $\frac{x-9}{x-20}$:
- При $x \in (-\infty; 9)$: $\frac{-}{-} > 0$.
- При $x \in (9; 20)$: $\frac{+}{-} < 0$.
- При $x \in (20; \infty)$: $\frac{+}{+} > 0$.
Решаем неравенство $\frac{x-9}{x-20} \leq 0$. Выбираем интервал, где дробь отрицательна, включая нуль числителя ($x=9$) и исключая нуль знаменателя ($x=20$).
Ответ: $x \in [9; 20)$.

6) Решим неравенство $\frac{(x-4)(x+6)}{x+4} \geq 0$ методом интервалов.
Нули числителя: $x=4$, $x=-6$. Нуль знаменателя: $x=-4$.
Точки $-6, -4, 4$ разбивают числовую прямую на интервалы: $(-\infty; -6)$, $(-6; -4)$, $(-4; 4)$ и $(4; \infty)$.
Определим знаки выражения:
- При $x \in (-\infty; -6)$: $\frac{(-)(_)}{-} < 0$.
- При $x \in (-6; -4)$: $\frac{(-)(+)}{-} > 0$.
- При $x \in (-4; 4)$: $\frac{(-)(+)}{+} < 0$.
- При $x \in (4; \infty)$: $\frac{(+)(+)}{+} > 0$.
Неравенство нестрогое ($\geq$), поэтому выбираем интервалы, где выражение положительно, и включаем нули числителя. Нуль знаменателя ($x=-4$) исключается.
Ответ: $x \in [-6; -4) \cup [4; \infty)$.

7) Решим неравенство $\frac{x-4,6}{(x+8)(x-15)} \leq 0$ методом интервалов.
Нуль числителя: $x=4,6$. Нули знаменателя: $x=-8$, $x=15$.
Точки $-8, 4.6, 15$ разбивают числовую прямую на интервалы: $(-\infty; -8)$, $(-8; 4,6)$, $(4,6; 15)$ и $(15; \infty)$.
Определим знаки выражения:
- При $x \in (-\infty; -8)$: $\frac{-}{(-)(_)} < 0$.
- При $x \in (-8; 4,6)$: $\frac{-}{(+)(_)} > 0$.
- При $x \in (4,6; 15)$: $\frac{+}{(+)(_)} < 0$.
- При $x \in (15; \infty)$: $\frac{+}{(+)(+)} > 0$.
Неравенство нестрогое ($\leq$), поэтому выбираем интервалы, где выражение отрицательно, и включаем нуль числителя. Нули знаменателя ($x=-8, x=15$) исключаются.
Ответ: $x \in (-\infty; -8) \cup [4,6; 15)$.

8) Решим неравенство $\frac{x+6,1}{(14-x)(x-16)} \geq 0$.
Преобразуем выражение, вынеся минус из скобки $(14-x)$, и умножим неравенство на -1, изменив знак:
$\frac{x+6,1}{-(x-14)(x-16)} \geq 0 \implies \frac{x+6,1}{(x-14)(x-16)} \leq 0$.
Нуль числителя: $x=-6,1$. Нули знаменателя: $x=14, x=16$.
Точки $-6.1, 14, 16$ разбивают числовую прямую на интервалы: $(-\infty; -6,1)$, $(-6,1; 14)$, $(14; 16)$ и $(16; \infty)$.
Определим знаки выражения $\frac{x+6,1}{(x-14)(x-16)}$:
- При $x \in (-\infty; -6,1)$: $\frac{-}{(-)(_)} < 0$.
- При $x \in (-6,1; 14)$: $\frac{+}{(-)(_)} > 0$.
- При $x \in (14; 16)$: $\frac{+}{(+)(_)} < 0$.
- При $x \in (16; \infty)$: $\frac{+}{(+)(+)} > 0$.
Решаем неравенство $\frac{x+6,1}{(x-14)(x-16)} \leq 0$. Выбираем интервалы, где выражение отрицательно, включая нуль числителя ($x=-6,1$) и исключая нули знаменателя ($x=14, x=16$).
Ответ: $x \in (-\infty; -6,1] \cup (14; 16)$.