Номер 38, страница 115 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

38. Решите неравенство:

1) $(x+4)^2(x^2 + 8x + 12) < 0;$

2) $(x+4)^2(x^2 + 8x + 12) \le 0;$

3) $(x+4)^2(x^2 + 8x + 12) > 0;$

4) $(x+4)^2(x^2 + 8x + 12) \ge 0;$

Для решения всех четырех неравенств сначала преобразуем выражение в левой части. Обозначим $f(x) = (x + 4)^2 (x^2 + 8x + 12)$.

Разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 + 8x + 12$. Для этого решим уравнение $x^2 + 8x + 12 = 0$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16 = 4^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - 4}{2} = -6$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + 4}{2} = -2$

Таким образом, разложение на множители имеет вид: $x^2 + 8x + 12 = (x - (-6))(x - (-2)) = (x + 6)(x + 2)$.

Теперь исходное выражение можно записать как $f(x) = (x + 4)^2 (x + 6)(x + 2)$.

Для решения неравенств воспользуемся методом интервалов. Найдем нули функции $f(x)$, решив уравнение $f(x) = 0$:

$(x + 4)^2 (x + 6)(x + 2) = 0$

Корнями являются $x = -6$, $x = -4$ и $x = -2$.

Отметим эти точки на числовой оси. Они разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty, -6)$, $(-6, -4)$, $(-4, -2)$ и $(-2, +\infty)$.

Определим знак функции $f(x)$ в каждом интервале. Заметим, что множитель $(x+4)^2$ всегда неотрицателен. Корень $x = -4$ имеет кратность 2 (четную), поэтому при переходе через эту точку знак функции $f(x)$ не меняется.

• В интервале $(-\infty, -6)$, например при $x = -7$: $f(-7) = (-3)^2(-1)(-5) > 0$. Знак "+".
• В интервале $(-6, -4)$, например при $x = -5$: $f(-5) = (-1)^2(1)(-3) < 0$. Знак "-".
• В интервале $(-4, -2)$, например при $x = -3$: $f(-3) = (1)^2(3)(-1) < 0$. Знак "-".
• В интервале $(-2, +\infty)$, например при $x = 0$: $f(0) = (4)^2(6)(2) > 0$. Знак "+".

Теперь решим каждое неравенство.

1) $(x + 4)^2 (x^2 + 8x + 12) < 0$

Неравенство эквивалентно $(x + 4)^2 (x + 6)(x + 2) < 0$. Мы ищем интервалы, где функция $f(x)$ строго отрицательна. Согласно анализу знаков, это происходит на интервалах $(-6, -4)$ и $(-4, -2)$. Поскольку неравенство строгое, точка $x=-4$, где функция равна нулю, не входит в решение.

Ответ: $x \in (-6, -4) \cup (-4, -2)$.

2) $(x + 4)^2 (x^2 + 8x + 12) \le 0$

Неравенство эквивалентно $(x + 4)^2 (x + 6)(x + 2) \le 0$. Решение этого неравенства включает в себя все значения $x$, при которых $f(x) < 0$ или $f(x) = 0$. Из пункта 1 мы знаем, что $f(x) < 0$ при $x \in (-6, -4) \cup (-4, -2)$. Функция $f(x) = 0$ при $x = -6$, $x = -4$ и $x = -2$. Объединив эти множества, получим замкнутый промежуток.

Ответ: $x \in [-6, -2]$.

3) $(x + 4)^2 (x^2 + 8x + 12) > 0$

Неравенство эквивалентно $(x + 4)^2 (x + 6)(x + 2) > 0$. Мы ищем интервалы, где функция $f(x)$ строго положительна. Согласно анализу знаков, это происходит на интервалах $(-\infty, -6)$ и $(-2, +\infty)$. Точки, где функция обращается в ноль, не включаются в решение.

Ответ: $x \in (-\infty, -6) \cup (-2, +\infty)$.

4) $(x + 4)^2 (x^2 + 8x + 12) \ge 0$

Неравенство эквивалентно $(x + 4)^2 (x + 6)(x + 2) \ge 0$. Решение этого неравенства включает все значения $x$, при которых $f(x) > 0$ или $f(x) = 0$. Из пункта 3 мы знаем, что $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty, -6) \cup (-2, +\infty)$. Функция $f(x) = 0$ при $x = -6$, $x = -4$ и $x = -2$. Объединив эти множества, получаем объединение двух лучей и изолированной точки.

Ответ: $x \in (-\infty, -6] \cup \{-4\} \cup [-2, +\infty)$.