Номер 39, страница 115 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

39. Решите неравенство:

1) $ \frac{x^2 - 5x + 4}{x^2 - 6x + 9} > 0; $

2) $ \frac{x^2 - 5x + 4}{x^2 - 6x + 9} \ge 0; $

3) $ \frac{x^2 - 5x + 4}{x^2 - 6x + 9} < 0; $

4) $ \frac{x^2 - 5x + 4}{x^2 - 6x + 9} \le 0; $

5) $ \frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - x - 12} > 0; $

6) $ \frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - x - 12} \ge 0; $

7) $ \frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - x - 12} < 0; $

8) $ \frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - x - 12} \le 0. $

Для решения неравенств 1-4, сначала преобразуем выражение $\frac{x^2 - 5x + 4}{x^2 - 6x + 9}$.

Разложим числитель на множители. Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 4. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$. Таким образом, $x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4)$.

Разложим знаменатель на множители. Выражение $x^2 - 6x + 9$ является полным квадратом разности: $x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x-3)^2$.

Исходное выражение принимает вид: $\frac{(x-1)(x-4)}{(x-3)^2}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $(x-3)^2 \neq 0$, откуда $x \neq 3$.

Заметим, что знаменатель $(x-3)^2$ всегда положителен при $x \neq 3$. Следовательно, знак всей дроби на ОДЗ совпадает со знаком числителя $(x-1)(x-4)$.

1) $\frac{x^2 - 5x + 4}{x^2 - 6x + 9} > 0$

С учетом преобразований, неравенство эквивалентно системе:

$\begin{cases} (x-1)(x-4) > 0 \\ x \neq 3 \end{cases}$

Решим неравенство $(x-1)(x-4) > 0$ методом интервалов. Нули числителя: $x=1$ и $x=4$. Наносим их на числовую ось и определяем знаки на интервалах. Парабола $y=(x-1)(x-4)$ ветвями вверх, поэтому она положительна вне интервала между корнями.

Решением является объединение интервалов $(-\infty, 1) \cup (4, \infty)$. Точка $x=3$ не входит в это множество, поэтому условие ОДЗ выполнено.

Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (4, \infty)$.

2) $\frac{x^2 - 5x + 4}{x^2 - 6x + 9} \ge 0$

Неравенство эквивалентно системе:

$\begin{cases} (x-1)(x-4) \ge 0 \\ x \neq 3 \end{cases}$

Решением неравенства $(x-1)(x-4) \ge 0$ являются значения $x$, при которых выражение положительно или равно нулю. Равенство нулю достигается при $x=1$ и $x=4$. Положительные значения находятся на интервалах $(-\infty, 1)$ и $(4, \infty)$.

Объединяя, получаем $x \in (-\infty, 1] \cup [4, \infty)$. Точка $x=3$ не входит в это множество.

Ответ: $x \in (-\infty, 1] \cup [4, \infty)$.

3) $\frac{x^2 - 5x + 4}{x^2 - 6x + 9} < 0$

Неравенство эквивалентно системе:

$\begin{cases} (x-1)(x-4) < 0 \\ x \neq 3 \end{cases}$

Выражение $(x-1)(x-4)$ отрицательно на интервале между корнями, то есть $x \in (1, 4)$.

Теперь нужно учесть условие $x \neq 3$. Так как $3 \in (1, 4)$, мы должны исключить эту точку из интервала решения.

Таким образом, решение: $x \in (1, 3) \cup (3, 4)$.

Ответ: $x \in (1, 3) \cup (3, 4)$.

4) $\frac{x^2 - 5x + 4}{x^2 - 6x + 9} \le 0$

Неравенство эквивалентно системе:

$\begin{cases} (x-1)(x-4) \le 0 \\ x \neq 3 \end{cases}$

Решением неравенства $(x-1)(x-4) \le 0$ является отрезок $[1, 4]$.

Из этого отрезка необходимо исключить точку $x=3$ согласно ОДЗ.

Получаем объединение: $[1, 3) \cup (3, 4]$.

Ответ: $x \in [1, 3) \cup (3, 4]$.

Для решения неравенств 5-8, сначала преобразуем выражение $\frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - x - 12}$.

Разложим числитель на множители. Выражение $x^2 + 4x + 4$ является полным квадратом суммы: $x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x+2)^2$.

Разложим знаменатель на множители. Найдем корни уравнения $x^2 - x - 12 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -12. Корнями являются $x_1 = 4$ и $x_2 = -3$. Таким образом, $x^2 - x - 12 = (x-4)(x+3)$.

Исходное выражение принимает вид: $\frac{(x+2)^2}{(x-4)(x+3)}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $(x-4)(x+3) \neq 0$, откуда $x \neq 4$ и $x \neq -3$.

5) $\frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - x - 12} > 0$

Подставим разложенные на множители выражения: $\frac{(x+2)^2}{(x-4)(x+3)} > 0$.

Числитель $(x+2)^2$ всегда неотрицателен. Для выполнения строгого неравенства он должен быть строго положителен, то есть $(x+2)^2 > 0 \implies x \neq -2$.

При $x \neq -2$, числитель положителен, и знак дроби определяется знаком знаменателя. Значит, нужно решить неравенство $(x-4)(x+3) > 0$.

Методом интервалов (корни -3 и 4) находим решение: $x \in (-\infty, -3) \cup (4, \infty)$.

Условие $x \neq -2$ выполняется для найденного множества. ОДЗ ($x \neq 4, x \neq -3$) также учтено.

Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (4, \infty)$.

6) $\frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - x - 12} \ge 0$

Подставим разложенные на множители выражения: $\frac{(x+2)^2}{(x-4)(x+3)} \ge 0$.

Неравенство выполняется в двух случаях:

1. Дробь равна 0. Это происходит, когда числитель равен 0, а знаменатель не равен 0. $(x+2)^2 = 0 \implies x = -2$. Эта точка входит в ОДЗ.

2. Дробь строго больше 0. Из предыдущего пункта, решение: $x \in (-\infty, -3) \cup (4, \infty)$.

Объединяя оба случая, получаем полное решение.

Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup \{-2\} \cup (4, \infty)$.

7) $\frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - x - 12} < 0$

Подставим разложенные на множители выражения: $\frac{(x+2)^2}{(x-4)(x+3)} < 0$.

Числитель $(x+2)^2$ всегда неотрицателен. Чтобы дробь была отрицательной, числитель должен быть строго положителен ($x \neq -2$), а знаменатель — отрицателен.

Решаем неравенство $(x-4)(x+3) < 0$. Методом интервалов (корни -3 и 4) находим решение: $x \in (-3, 4)$.

Из этого интервала мы должны исключить точку $x = -2$, так как при $x = -2$ дробь равна 0, что не удовлетворяет строгому неравенству.

Получаем решение: $x \in (-3, -2) \cup (-2, 4)$.

Ответ: $x \in (-3, -2) \cup (-2, 4)$.

8) $\frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - x - 12} \le 0$

Подставим разложенные на множители выражения: $\frac{(x+2)^2}{(x-4)(x+3)} \le 0$.

Неравенство выполняется в двух случаях:

1. Дробь равна 0. Это происходит при $x = -2$.

2. Дробь строго меньше 0. Из предыдущего пункта, решение: $x \in (-3, -2) \cup (-2, 4)$.

Объединяя решение для равенства нулю (точка $x=-2$) и для строгого неравенства (интервалы $(-3, -2)$ и $(-2, 4)$), мы "закрываем" разрыв в точке -2. Решением будет весь интервал $(-3, 4)$.

Ответ: $x \in (-3, 4)$.