Номер 43, страница 116 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

43. Решите неравенство:

1) $\frac{10}{x} - \frac{6}{x+1} > 1;$

2) $\frac{1}{x-3} + \frac{1}{x+3} \ge \frac{4}{3x};$

3) $\frac{3}{x^2-25} - \frac{1}{x^2-9} \le 0;$

4) $\frac{2x+1}{x^2-x-6} < \frac{1}{4};$

5) $\frac{3x}{x^2-3x+2} + \frac{5}{x-1} \ge \frac{4}{x-2}.$

1) $\frac{10}{x} - \frac{6}{x+1} > 1$

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$\frac{10}{x} - \frac{6}{x+1} - 1 > 0$

Приведем дроби к общему знаменателю $x(x+1)$:

$\frac{10(x+1) - 6x - x(x+1)}{x(x+1)} > 0$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{10x + 10 - 6x - x^2 - x}{x(x+1)} > 0$

$\frac{-x^2 + 3x + 10}{x(x+1)} > 0$

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства:

$\frac{x^2 - 3x - 10}{x(x+1)} < 0$

Разложим числитель на множители. Корни уравнения $x^2 - 3x - 10 = 0$ равны $x_1 = 5$ и $x_2 = -2$.

$\frac{(x-5)(x+2)}{x(x+1)} < 0$

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя: $x=5, x=-2, x=0, x=-1$.

Отметим эти точки на числовой оси: $-2, -1, 0, 5$. Они разбивают ось на 5 интервалов. Определим знак выражения в каждом интервале:

При $x > 5$: $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$

При $0 < x < 5$: $\frac{(-)(+)}{(+)(+)} < 0$

При $-1 < x < 0$: $\frac{(-)(+)}{(-)(+)} > 0$

При $-2 < x < -1$: $\frac{(-)(+)}{(-)(-)} < 0$

При $x < -2$: $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0$

Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля.

Ответ: $x \in (-2, -1) \cup (0, 5)$

2) $\frac{1}{x-3} + \frac{1}{x+3} \ge \frac{4}{3x}$

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю $3x(x-3)(x+3)$:

$\frac{3x(x+3) + 3x(x-3) - 4(x-3)(x+3)}{3x(x-3)(x+3)} \ge 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne 0, x \ne 3, x \ne -3$.

Упростим числитель:

$\frac{3x^2 + 9x + 3x^2 - 9x - 4(x^2-9)}{3x(x-3)(x+3)} \ge 0$

$\frac{6x^2 - 4x^2 + 36}{3x(x-3)(x+3)} \ge 0$

$\frac{2x^2 + 36}{3x(x-3)(x+3)} \ge 0$

$\frac{2(x^2 + 18)}{3x(x-3)(x+3)} \ge 0$

Так как выражение $x^2 + 18$ всегда положительно (поскольку $x^2 \ge 0$), знак дроби зависит только от знака знаменателя. Неравенство равносильно следующему (учитывая ОДЗ):

$3x(x-3)(x+3) > 0$

$x(x-3)(x+3) > 0$

Решаем методом интервалов. Корни: $x=0, x=3, x=-3$.

Интервалы: $(-\infty, -3), (-3, 0), (0, 3), (3, +\infty)$.

Знаки выражения $x(x-3)(x+3)$: $-, +, -, +$.

Выбираем интервалы со знаком "+".

Ответ: $x \in (-3, 0) \cup (3, +\infty)$

3) $\frac{3}{x^2-25} - \frac{1}{x^2-9} \le 0$

Разложим знаменатели на множители:

$\frac{3}{(x-5)(x+5)} - \frac{1}{(x-3)(x+3)} \le 0$

Приведем к общему знаменателю $(x-5)(x+5)(x-3)(x+3)$:

$\frac{3(x^2-9) - 1(x^2-25)}{(x-5)(x+5)(x-3)(x+3)} \le 0$

Упростим числитель:

$\frac{3x^2 - 27 - x^2 + 25}{(x-5)(x+5)(x-3)(x+3)} \le 0$

$\frac{2x^2 - 2}{(x-5)(x+5)(x-3)(x+3)} \le 0$

$\frac{2(x-1)(x+1)}{(x-5)(x+5)(x-3)(x+3)} \le 0$

Решаем методом интервалов. Нули числителя: $x=1, x=-1$. Нули знаменателя: $x=5, x=-5, x=3, x=-3$.

Отметим точки на числовой оси: $-5, -3, -1, 1, 3, 5$.

Определим знаки на интервалах. Так как все множители в первой степени, знаки чередуются. При $x>5$ выражение положительно.

Знаки по интервалам: $+, -, +, -, +, -, +$.

Выбираем интервалы со знаком "−". Так как неравенство нестрогое, включаем нули числителя ($x=-1, x=1$).

Ответ: $x \in (-5, -3) \cup [-1, 1] \cup (3, 5)$

4) $\frac{2x+1}{x^2-x-6} < \frac{1}{4}$

Перенесем все в левую часть:

$\frac{2x+1}{x^2-x-6} - \frac{1}{4} < 0$

Разложим знаменатель $x^2-x-6 = (x-3)(x+2)$.

$\frac{2x+1}{(x-3)(x+2)} - \frac{1}{4} < 0$

Приведем к общему знаменателю $4(x-3)(x+2)$:

$\frac{4(2x+1) - (x^2-x-6)}{4(x-3)(x+2)} < 0$

$\frac{8x+4 - x^2+x+6}{4(x-3)(x+2)} < 0$

$\frac{-x^2+9x+10}{4(x-3)(x+2)} < 0$

Умножим на -1 и сменим знак неравенства:

$\frac{x^2-9x-10}{4(x-3)(x+2)} > 0$

Разложим числитель на множители. Корни уравнения $x^2-9x-10=0$ это $x_1=10$ и $x_2=-1$.

$\frac{(x-10)(x+1)}{4(x-3)(x+2)} > 0$

Решаем методом интервалов. Нули: $-2, -1, 3, 10$.

Знаки на интервалах (начиная с крайнего правого): $+, -, +, -, +$.

Выбираем интервалы со знаком "+".

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (-1, 3) \cup (10, +\infty)$

5) $\frac{3x}{x^2-3x+2} + \frac{5}{x-1} \ge \frac{4}{x-2}$

Разложим знаменатель $x^2-3x+2 = (x-1)(x-2)$.

$\frac{3x}{(x-1)(x-2)} + \frac{5}{x-1} - \frac{4}{x-2} \ge 0$

ОДЗ: $x \ne 1, x \ne 2$.

Приведем к общему знаменателю $(x-1)(x-2)$:

$\frac{3x + 5(x-2) - 4(x-1)}{(x-1)(x-2)} \ge 0$

$\frac{3x + 5x - 10 - 4x + 4}{(x-1)(x-2)} \ge 0$

$\frac{4x - 6}{(x-1)(x-2)} \ge 0$

Решаем методом интервалов. Нуль числителя: $4x-6=0 \implies x = 1.5$. Нули знаменателя: $x=1, x=2$.

Точки на оси: $1, 1.5, 2$.

Знаки на интервалах (начиная с крайнего правого): $+, -, +, -$.

Выбираем интервалы со знаком "+". Так как неравенство нестрогое, включаем нуль числителя ($x=1.5$).

Ответ: $x \in (1, 1.5] \cup (2, +\infty)$