Страница 116 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

40. Найдите множество решений неравенства:

1) $\frac{x^2 - 6x}{x^2 - 36} \ge 0$;

2) $\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 3x - 4} \le 0$.

Рассмотрим неравенство $\frac{x^2 - 6x}{x^2 - 36} \ge 0$.

Для решения этого неравенства методом интервалов, сначала разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $x^2 - 6x = x(x - 6)$.

Знаменатель: $x^2 - 36 = (x - 6)(x + 6)$ (по формуле разности квадратов).

Теперь неравенство имеет вид:

$\frac{x(x - 6)}{(x - 6)(x + 6)} \ge 0$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому:

$(x - 6)(x + 6) \neq 0$, откуда $x \neq 6$ и $x \neq -6$.

На ОДЗ (при $x \neq 6$) мы можем сократить дробь на множитель $(x-6)$:

$\frac{x}{x + 6} \ge 0$.

Найдем нули числителя и знаменателя полученного выражения:

Нуль числителя: $x=0$.

Нуль знаменателя: $x+6=0 \Rightarrow x=-6$.

Отметим эти точки, а также точку $x=6$ из ОДЗ, на числовой прямой. Точка $x=0$ будет закрашенной (включенной), так как неравенство нестрогое ($\ge$). Точки $x=-6$ и $x=6$ будут выколотыми (не включенными), так как они обращают знаменатель в ноль.

Определим знаки выражения на полученных интервалах $(-\infty; -6)$, $(-6; 0]$, $[0; 6)$ и $(6; +\infty)$:

• При $x > 6$ (например, $x=7$): $\frac{7(7-6)}{(7-6)(7+6)} = \frac{7}{13} > 0$. Знак "+".
• При $0 \le x < 6$ (например, $x=1$): $\frac{1(1-6)}{(1-6)(1+6)} = \frac{1}{7} > 0$. Знак "+".
• При $-6 < x < 0$ (например, $x=-1$): $\frac{-1(-1-6)}{(-1-6)(-1+6)} = \frac{7}{-35} < 0$. Знак "-".
• При $x < -6$ (например, $x=-7$): $\frac{-7(-7-6)}{(-7-6)(-7+6)} = \frac{-7(-13)}{(-13)(-1)} = 7 > 0$. Знак "+".

Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю. Это $(-\infty, -6)$, $[0, 6)$ и $(6, +\infty)$.

Объединяя эти интервалы, получаем итоговое множество решений.

Ответ: $(-\infty, -6) \cup [0, 6) \cup (6, +\infty)$.

Рассмотрим неравенство $\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 3x - 4} \le 0$.

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$ (квадрат разности).

Знаменатель: $x^2 + 3x - 4$. Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 3x - 4 = 0$. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -3$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = -4$. Корнями являются $x_1=1$ и $x_2=-4$. Следовательно, $x^2 + 3x - 4 = (x - 1)(x + 4)$.

Неравенство принимает вид:

$\frac{(x - 1)^2}{(x - 1)(x + 4)} \le 0$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не должен равняться нулю:

$(x - 1)(x + 4) \neq 0$, откуда $x \neq 1$ и $x \neq -4$.

На ОДЗ (при $x \neq 1$) мы можем сократить дробь на $(x-1)$:

$\frac{x - 1}{x + 4} \le 0$.

Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $x-1=0 \Rightarrow x=1$.

Нуль знаменателя: $x+4=0 \Rightarrow x=-4$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Обе точки, $x=1$ и $x=-4$, будут выколотыми, так как они не входят в ОДЗ.

Определим знаки выражения на полученных интервалах $(-\infty, -4)$, $(-4, 1)$ и $(1, +\infty)$:

• При $x > 1$ (например, $x=2$): $\frac{2-1}{2+4} = \frac{1}{6} > 0$. Знак "+".
• При $-4 < x < 1$ (например, $x=0$): $\frac{0-1}{0+4} = -\frac{1}{4} < 0$. Знак "-".
• При $x < -4$ (например, $x=-5$): $\frac{-5-1}{-5+4} = \frac{-6}{-1} = 6 > 0$. Знак "+".

Нам нужно, чтобы выражение было меньше или равно нулю. Выражение равно нулю при $x=1$, но эта точка не входит в ОДЗ. Значит, ищем интервал, где выражение строго меньше нуля.

Это интервал $(-4, 1)$.

Ответ: $(-4, 1)$.

41. Решите неравенство:

1) $\frac{x^2 - 6x + 8}{|x - 8|} \ge 0;$

2) $\frac{|x + 1|}{x^2 + 4x - 12} \ge 0;$

3) $\frac{x^2 - 6x - 7}{|x + 2|(x - 4)} \le 0.$

1) $\frac{x^2 - 6x + 8}{|x - 8|} \ge 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $|x - 8| \ne 0$, что означает $x \ne 8$.

Выражение в знаменателе $|x - 8|$ всегда положительно при $x \ne 8$. Следовательно, знак всей дроби зависит только от знака числителя. Неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 6x + 8 \ge 0 \\ x \ne 8 \end{cases}$

Решим квадратное неравенство $x^2 - 6x + 8 \ge 0$. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 6, а произведение равно 8. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 4$.

Парабола $y = x^2 - 6x + 8$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает неотрицательные значения при $x \le 2$ или $x \ge 4$. Таким образом, решение неравенства $x^2 - 6x + 8 \ge 0$ есть объединение промежутков $(-\infty, 2] \cup [4, \infty)$.

Теперь учтем условие $x \ne 8$. Точка $x=8$ входит в промежуток $[4, \infty)$, поэтому ее необходимо исключить.

Объединяя решения, получаем: $x \in (-\infty, 2] \cup [4, 8) \cup (8, \infty)$.

Ответ: $(-\infty, 2] \cup [4, 8) \cup (8, \infty)$.

2) $\frac{|x + 1|}{x^2 + 4x - 12} \ge 0$

Найдем ОДЗ. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^2 + 4x - 12 \ne 0$.

Решим уравнение $x^2 + 4x - 12 = 0$. Дискриминант $D = 4^2 - 4(1)(-12) = 16 + 48 = 64$.

Корни: $x_1 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2} = \frac{-4 - 8}{2} = -6$, $x_2 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-4 + 8}{2} = 2$.

Таким образом, ОДЗ: $x \ne -6$ и $x \ne 2$.

Числитель $|x + 1|$ всегда неотрицателен, т.е. $|x + 1| \ge 0$ для любого $x$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: Дробь равна нулю. Это возможно, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$|x + 1| = 0 \Rightarrow x = -1$.

Проверим, входит ли $x=-1$ в ОДЗ. Знаменатель при $x=-1$ равен $(-1)^2 + 4(-1) - 12 = 1 - 4 - 12 = -15 \ne 0$. Следовательно, $x=-1$ является решением неравенства.

Случай 2: Дробь строго больше нуля.

$\frac{|x + 1|}{x^2 + 4x - 12} > 0$.

Так как $|x+1| > 0$ при $x \ne -1$, для выполнения неравенства необходимо, чтобы знаменатель был строго положителен:

$x^2 + 4x - 12 > 0$.

Мы уже нашли корни этого квадратного трехчлена: $x_1 = -6$ и $x_2 = 2$. Парабола $y=x^2 + 4x - 12$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -6) \cup (2, \infty)$.

Объединим решения из обоих случаев. Получаем решение $x=-1$ и интервалы $(-\infty, -6) \cup (2, \infty)$.

Ответ: $(-\infty, -6) \cup \{-1\} \cup (2, \infty)$.

3) $\frac{x^2 - 6x - 7}{|x + 2|(x - 4)} \le 0$

Найдем ОДЗ. Знаменатель не равен нулю:

$|x + 2| \ne 0 \Rightarrow x \ne -2$.

$x - 4 \ne 0 \Rightarrow x \ne 4$.

Выражение $|x+2|$ всегда положительно при $x \ne -2$. Так как оно находится в знаменателе и всегда положительно (в рамках ОДЗ), оно не влияет на знак дроби. Таким образом, неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} \frac{x^2 - 6x - 7}{x - 4} \le 0 \\ x \ne -2 \end{cases}$

Решим неравенство $\frac{x^2 - 6x - 7}{x - 4} \le 0$ методом интервалов.

Найдем нули числителя: $x^2 - 6x - 7 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 6, а произведение -7. Корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 7$.

Найдем нуль знаменателя: $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$.

Нанесем точки $-1, 4, 7$ на числовую ось. Точки $-1$ и $7$ (нули числителя) будут закрашенными, так как неравенство нестрогое. Точка $4$ (нуль знаменателя) будет выколотой.

Разложим числитель на множители: $\frac{(x+1)(x-7)}{x-4} \le 0$.

Определим знаки на интервалах:

• При $x > 7$ (например, $x=8$): $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$.
• При $4 < x < 7$ (например, $x=5$): $\frac{(+)(-)}{(+)} < 0$. Этот интервал подходит.
• При $-1 < x < 4$ (например, $x=0$): $\frac{(+)(-)}{(-)} > 0$.
• При $x < -1$ (например, $x=-2$ - но оно исключено, возьмем $x=-3$): $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$. Этот интервал подходит.

Решение неравенства $\frac{x^2 - 6x - 7}{x - 4} \le 0$ есть $(-\infty, -1] \cup (4, 7]$.

Теперь учтем ограничение ОДЗ $x \ne -2$. Точка $x=-2$ находится в промежутке $(-\infty, -1]$, поэтому ее нужно исключить.

Итоговое решение: $(-\infty, -2) \cup (-2, -1] \cup (4, 7]$.

Ответ: $(-\infty, -2) \cup (-2, -1] \cup (4, 7]$.

42. Решите неравенство:

1) $\frac{x+2}{x-2} \ge \frac{4x-10}{x-2}$;

2) $\frac{3x}{2x-7} \le 1$;

3) $\frac{x^2+5x}{x-1} \ge \frac{14}{x-1}$;

4) $\frac{x^2-4x}{x-2} \le 3$.

1)

Исходное неравенство: $ \frac{x+2}{x-2} \ge \frac{4x-10}{x-2} $.
Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, следовательно, $ x-2 \neq 0 $, то есть $ x \neq 2 $.
Перенесем все члены в левую часть неравенства:

$ \frac{x+2}{x-2} - \frac{4x-10}{x-2} \ge 0 $

$ \frac{(x+2) - (4x-10)}{x-2} \ge 0 $

$ \frac{x+2 - 4x + 10}{x-2} \ge 0 $

$ \frac{-3x + 12}{x-2} \ge 0 $

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $ -3x + 12 = 0 \implies 3x = 12 \implies x = 4 $. Так как неравенство нестрогое, эта точка включается в решение.
Нуль знаменателя: $ x - 2 = 0 \implies x = 2 $. Эта точка исключается из решения (ОДЗ).
Нанесем точки на числовую прямую и определим знаки выражения в полученных интервалах:
- при $ x < 2 $ (например, $ x=0 $): $ \frac{12}{-2} = -6 < 0 $ (знак "-")
- при $ 2 < x < 4 $ (например, $ x=3 $): $ \frac{-9+12}{3-2} = 3 > 0 $ (знак "+")
- при $ x > 4 $ (например, $ x=5 $): $ \frac{-15+12}{5-2} = -1 < 0 $ (знак "-")
Нам нужны значения, где выражение больше или равно нулю, то есть интервал со знаком "+".
Решением является промежуток $ (2, 4] $.
Ответ: $ x \in (2, 4] $.

2)

Исходное неравенство: $ \frac{3x}{2x-7} \le 1 $.
ОДЗ: $ 2x-7 \neq 0 \implies x \neq 3.5 $.
Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$ \frac{3x}{2x-7} - 1 \le 0 $

$ \frac{3x - (2x-7)}{2x-7} \le 0 $

$ \frac{3x - 2x + 7}{2x-7} \le 0 $

$ \frac{x+7}{2x-7} \le 0 $

Применим метод интервалов.
Нуль числителя: $ x+7=0 \implies x=-7 $. Точка включается в решение.
Нуль знаменателя: $ 2x-7=0 \implies x=3.5 $. Точка исключается.
Определим знаки на интервалах:
- при $ x < -7 $ (например, $ x=-8 $): $ \frac{-1}{-23} > 0 $ (знак "+")
- при $ -7 < x < 3.5 $ (например, $ x=0 $): $ \frac{7}{-7} < 0 $ (знак "-")
- при $ x > 3.5 $ (например, $ x=4 $): $ \frac{11}{1} > 0 $ (знак "+")
Нам нужны значения, где выражение меньше или равно нулю. Это интервал со знаком "-".
Решением является промежуток $ [-7, 3.5) $.
Ответ: $ x \in [-7, 3.5) $.

3)

Исходное неравенство: $ \frac{x^2+5x}{x-1} \ge \frac{14}{x-1} $.
ОДЗ: $ x-1 \neq 0 \implies x \neq 1 $.
Перенесем все в левую часть:

$ \frac{x^2+5x - 14}{x-1} \ge 0 $

Найдем нули числителя и знаменателя.
Нули числителя: $ x^2+5x-14=0 $. По теореме Виета, корни $ x_1 = -7 $ и $ x_2 = 2 $. Эти точки включаются в решение.
Нуль знаменателя: $ x-1=0 \implies x=1 $. Эта точка исключается.
Запишем неравенство в виде $ \frac{(x+7)(x-2)}{x-1} \ge 0 $ и применим метод интервалов.
Определим знаки на интервалах:
- при $ x < -7 $ (например, $ x=-8 $): $ \frac{(-)( -)}{(-)} < 0 $ (знак "-")
- при $ -7 < x < 1 $ (например, $ x=0 $): $ \frac{(+)( -)}{(-)} > 0 $ (знак "+")
- при $ 1 < x < 2 $ (например, $ x=1.5 $): $ \frac{(+)( -)}{(+)} < 0 $ (знак "-")
- при $ x > 2 $ (например, $ x=3 $): $ \frac{(+)(+)}{(+)} > 0 $ (знак "+")
Нам нужны интервалы со знаком "+".
Решением является объединение промежутков $ [-7, 1) \cup [2, \infty) $.
Ответ: $ x \in [-7, 1) \cup [2, \infty) $.

4)

Исходное неравенство: $ \frac{x^2-4x}{x-2} \le 3 $.
ОДЗ: $ x-2 \neq 0 \implies x \neq 2 $.
Перенесем 3 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$ \frac{x^2-4x}{x-2} - 3 \le 0 $

$ \frac{x^2-4x - 3(x-2)}{x-2} \le 0 $

$ \frac{x^2-4x - 3x + 6}{x-2} \le 0 $

$ \frac{x^2 - 7x + 6}{x-2} \le 0 $

Найдем нули числителя и знаменателя.
Нули числителя: $ x^2 - 7x + 6 = 0 $. По теореме Виета, корни $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = 6 $. Эти точки включаются в решение.
Нуль знаменателя: $ x-2=0 \implies x=2 $. Эта точка исключается.
Запишем неравенство в виде $ \frac{(x-1)(x-6)}{x-2} \le 0 $ и применим метод интервалов.
Определим знаки на интервалах:
- при $ x < 1 $ (например, $ x=0 $): $ \frac{(-)(-)}{(-)} < 0 $ (знак "-")
- при $ 1 < x < 2 $ (например, $ x=1.5 $): $ \frac{(+)(-)}{(-)} > 0 $ (знак "+")
- при $ 2 < x < 6 $ (например, $ x=3 $): $ \frac{(+)(-)}{(+)} < 0 $ (знак "-")
- при $ x > 6 $ (например, $ x=7 $): $ \frac{(+)(+)}{(+)} > 0 $ (знак "+")
Нам нужны интервалы со знаком "-".
Решением является объединение промежутков $ (-\infty, 1] \cup (2, 6] $.
Ответ: $ x \in (-\infty, 1] \cup (2, 6] $.

43. Решите неравенство:

1) $\frac{10}{x} - \frac{6}{x+1} > 1;$

2) $\frac{1}{x-3} + \frac{1}{x+3} \ge \frac{4}{3x};$

3) $\frac{3}{x^2-25} - \frac{1}{x^2-9} \le 0;$

4) $\frac{2x+1}{x^2-x-6} < \frac{1}{4};$

5) $\frac{3x}{x^2-3x+2} + \frac{5}{x-1} \ge \frac{4}{x-2}.$

1) $\frac{10}{x} - \frac{6}{x+1} > 1$

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$\frac{10}{x} - \frac{6}{x+1} - 1 > 0$

Приведем дроби к общему знаменателю $x(x+1)$:

$\frac{10(x+1) - 6x - x(x+1)}{x(x+1)} > 0$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{10x + 10 - 6x - x^2 - x}{x(x+1)} > 0$

$\frac{-x^2 + 3x + 10}{x(x+1)} > 0$

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства:

$\frac{x^2 - 3x - 10}{x(x+1)} < 0$

Разложим числитель на множители. Корни уравнения $x^2 - 3x - 10 = 0$ равны $x_1 = 5$ и $x_2 = -2$.

$\frac{(x-5)(x+2)}{x(x+1)} < 0$

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя: $x=5, x=-2, x=0, x=-1$.

Отметим эти точки на числовой оси: $-2, -1, 0, 5$. Они разбивают ось на 5 интервалов. Определим знак выражения в каждом интервале:

При $x > 5$: $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$

При $0 < x < 5$: $\frac{(-)(+)}{(+)(+)} < 0$

При $-1 < x < 0$: $\frac{(-)(+)}{(-)(+)} > 0$

При $-2 < x < -1$: $\frac{(-)(+)}{(-)(-)} < 0$

При $x < -2$: $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0$

Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля.

Ответ: $x \in (-2, -1) \cup (0, 5)$

2) $\frac{1}{x-3} + \frac{1}{x+3} \ge \frac{4}{3x}$

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю $3x(x-3)(x+3)$:

$\frac{3x(x+3) + 3x(x-3) - 4(x-3)(x+3)}{3x(x-3)(x+3)} \ge 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne 0, x \ne 3, x \ne -3$.

Упростим числитель:

$\frac{3x^2 + 9x + 3x^2 - 9x - 4(x^2-9)}{3x(x-3)(x+3)} \ge 0$

$\frac{6x^2 - 4x^2 + 36}{3x(x-3)(x+3)} \ge 0$

$\frac{2x^2 + 36}{3x(x-3)(x+3)} \ge 0$

$\frac{2(x^2 + 18)}{3x(x-3)(x+3)} \ge 0$

Так как выражение $x^2 + 18$ всегда положительно (поскольку $x^2 \ge 0$), знак дроби зависит только от знака знаменателя. Неравенство равносильно следующему (учитывая ОДЗ):

$3x(x-3)(x+3) > 0$

$x(x-3)(x+3) > 0$

Решаем методом интервалов. Корни: $x=0, x=3, x=-3$.

Интервалы: $(-\infty, -3), (-3, 0), (0, 3), (3, +\infty)$.

Знаки выражения $x(x-3)(x+3)$: $-, +, -, +$.

Выбираем интервалы со знаком "+".

Ответ: $x \in (-3, 0) \cup (3, +\infty)$

3) $\frac{3}{x^2-25} - \frac{1}{x^2-9} \le 0$

Разложим знаменатели на множители:

$\frac{3}{(x-5)(x+5)} - \frac{1}{(x-3)(x+3)} \le 0$

Приведем к общему знаменателю $(x-5)(x+5)(x-3)(x+3)$:

$\frac{3(x^2-9) - 1(x^2-25)}{(x-5)(x+5)(x-3)(x+3)} \le 0$

Упростим числитель:

$\frac{3x^2 - 27 - x^2 + 25}{(x-5)(x+5)(x-3)(x+3)} \le 0$

$\frac{2x^2 - 2}{(x-5)(x+5)(x-3)(x+3)} \le 0$

$\frac{2(x-1)(x+1)}{(x-5)(x+5)(x-3)(x+3)} \le 0$

Решаем методом интервалов. Нули числителя: $x=1, x=-1$. Нули знаменателя: $x=5, x=-5, x=3, x=-3$.

Отметим точки на числовой оси: $-5, -3, -1, 1, 3, 5$.

Определим знаки на интервалах. Так как все множители в первой степени, знаки чередуются. При $x>5$ выражение положительно.

Знаки по интервалам: $+, -, +, -, +, -, +$.

Выбираем интервалы со знаком "−". Так как неравенство нестрогое, включаем нули числителя ($x=-1, x=1$).

Ответ: $x \in (-5, -3) \cup [-1, 1] \cup (3, 5)$

4) $\frac{2x+1}{x^2-x-6} < \frac{1}{4}$

Перенесем все в левую часть:

$\frac{2x+1}{x^2-x-6} - \frac{1}{4} < 0$

Разложим знаменатель $x^2-x-6 = (x-3)(x+2)$.

$\frac{2x+1}{(x-3)(x+2)} - \frac{1}{4} < 0$

Приведем к общему знаменателю $4(x-3)(x+2)$:

$\frac{4(2x+1) - (x^2-x-6)}{4(x-3)(x+2)} < 0$

$\frac{8x+4 - x^2+x+6}{4(x-3)(x+2)} < 0$

$\frac{-x^2+9x+10}{4(x-3)(x+2)} < 0$

Умножим на -1 и сменим знак неравенства:

$\frac{x^2-9x-10}{4(x-3)(x+2)} > 0$

Разложим числитель на множители. Корни уравнения $x^2-9x-10=0$ это $x_1=10$ и $x_2=-1$.

$\frac{(x-10)(x+1)}{4(x-3)(x+2)} > 0$

Решаем методом интервалов. Нули: $-2, -1, 3, 10$.

Знаки на интервалах (начиная с крайнего правого): $+, -, +, -, +$.

Выбираем интервалы со знаком "+".

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (-1, 3) \cup (10, +\infty)$

5) $\frac{3x}{x^2-3x+2} + \frac{5}{x-1} \ge \frac{4}{x-2}$

Разложим знаменатель $x^2-3x+2 = (x-1)(x-2)$.

$\frac{3x}{(x-1)(x-2)} + \frac{5}{x-1} - \frac{4}{x-2} \ge 0$

ОДЗ: $x \ne 1, x \ne 2$.

Приведем к общему знаменателю $(x-1)(x-2)$:

$\frac{3x + 5(x-2) - 4(x-1)}{(x-1)(x-2)} \ge 0$

$\frac{3x + 5x - 10 - 4x + 4}{(x-1)(x-2)} \ge 0$

$\frac{4x - 6}{(x-1)(x-2)} \ge 0$

Решаем методом интервалов. Нуль числителя: $4x-6=0 \implies x = 1.5$. Нули знаменателя: $x=1, x=2$.

Точки на оси: $1, 1.5, 2$.

Знаки на интервалах (начиная с крайнего правого): $+, -, +, -$.

Выбираем интервалы со знаком "+". Так как неравенство нестрогое, включаем нуль числителя ($x=1.5$).

Ответ: $x \in (1, 1.5] \cup (2, +\infty)$

44. Решите неравенство:

1) $(x^2 - 5x + 6)\sqrt{x^2 + 5x + 4} < 0;$

2) $(x^2 - 5x + 6)\sqrt{x^2 + 5x + 4} > 0;$

3) $(x^2 - 5x + 6)\sqrt{x^2 + 5x + 4} \leq 0;$

4) $(x^2 - 5x + 6)\sqrt{x^2 + 5x + 4} \geq 0.$

Для решения данных неравенств предварительно проанализируем выражения, входящие в них. Первый множитель: $x^2 - 5x + 6$. Найдем его корни: $x^2 - 5x + 6 = 0$, по теореме Виета $x_1 = 2$, $x_2 = 3$. Тогда $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$. Этот множитель положителен при $x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty)$ и отрицателен при $x \in (2, 3)$. Второй множитель: $\sqrt{x^2 + 5x + 4}$. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x^2 + 5x + 4 \ge 0$. Корнями уравнения $x^2 + 5x + 4 = 0$ являются $x_3 = -4$ и $x_4 = -1$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, -4] \cup [-1, \infty)$. На этой области $\sqrt{x^2 + 5x + 4} \ge 0$. Корень равен нулю при $x=-4, x=-1$ и строго положителен при $x \in (-\infty, -4) \cup (-1, \infty)$.

1) $(x^2 - 5x + 6)\sqrt{x^2 + 5x + 4} < 0$

Произведение двух множителей отрицательно. Поскольку множитель $\sqrt{x^2 + 5x + 4}$ не может быть отрицательным, он должен быть строго больше нуля, а первый множитель $(x^2 - 5x + 6)$ должен быть строго отрицательным. Это приводит к системе неравенств: $x^2 - 5x + 6 < 0$ и $\sqrt{x^2 + 5x + 4} > 0$.

Решим каждое неравенство:

1. $x^2 - 5x + 6 < 0 \implies (x-2)(x-3) < 0$. Решением является интервал $x \in (2, 3)$.

2. $\sqrt{x^2 + 5x + 4} > 0 \implies x^2 + 5x + 4 > 0$. Решением является $x \in (-\infty, -4) \cup (-1, \infty)$.

Теперь найдем пересечение решений: $x \in (2, 3) \cap ((-\infty, -4) \cup (-1, \infty))$. Интервал $(2, 3)$ полностью содержится в интервале $(-1, \infty)$, поэтому их пересечение равно $(2, 3)$.

Ответ: $x \in (2, 3)$.

2) $(x^2 - 5x + 6)\sqrt{x^2 + 5x + 4} > 0$

Произведение положительно. Поскольку $\sqrt{x^2 + 5x + 4} \ge 0$, оба множителя должны быть строго больше нуля. Это приводит к системе неравенств: $x^2 - 5x + 6 > 0$ и $\sqrt{x^2 + 5x + 4} > 0$.

Решим каждое неравенство:

1. $x^2 - 5x + 6 > 0 \implies (x-2)(x-3) > 0$. Решением является $x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty)$.

2. $\sqrt{x^2 + 5x + 4} > 0 \implies x^2 + 5x + 4 > 0$. Решением является $x \in (-\infty, -4) \cup (-1, \infty)$.

Найдем пересечение этих двух множеств: $((-\infty, 2) \cup (3, \infty)) \cap ((-\infty, -4) \cup (-1, \infty))$. Пересечение $(-\infty, 2)$ с $(-\infty, -4) \cup (-1, \infty)$ дает $(-\infty, -4) \cup (-1, 2)$. Пересечение $(3, \infty)$ с $(-\infty, -4) \cup (-1, \infty)$ дает $(3, \infty)$. Объединяя полученные интервалы, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (-1, 2) \cup (3, \infty)$.

3) $(x^2 - 5x + 6)\sqrt{x^2 + 5x + 4} \le 0$

Неравенство выполняется, когда произведение меньше нуля или равно нулю.

Случай 1: Произведение меньше нуля. Из пункта 1) решение этого неравенства есть $x \in (2, 3)$.

Случай 2: Произведение равно нулю. Это происходит, если один из множителей равен нулю, а другой при этом определен.$x^2 - 5x + 6 = 0 \implies x=2$ или $x=3$. Оба значения входят в ОДЗ.$\sqrt{x^2 + 5x + 4} = 0 \implies x^2 + 5x + 4 = 0 \implies x=-4$ или $x=-1$. Таким образом, точки, в которых выражение равно нулю, это $\{-4, -1, 2, 3\}$.

Объединяем решения из обоих случаев: $(2, 3) \cup \{-4, -1, 2, 3\}$. Объединение $(2, 3)$ с точками $2$ и $3$ дает отрезок $[2, 3]$. Добавляя остальные точки, получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in \{-4, -1\} \cup [2, 3]$.

4) $(x^2 - 5x + 6)\sqrt{x^2 + 5x + 4} \ge 0$

Неравенство выполняется, когда произведение больше нуля или равно нулю.

Случай 1: Произведение больше нуля. Из пункта 2) решение этого неравенства есть $x \in (-\infty, -4) \cup (-1, 2) \cup (3, \infty)$.

Случай 2: Произведение равно нулю. Из пункта 3) мы знаем, что это происходит при $x \in \{-4, -1, 2, 3\}$.

Объединяем решения из обоих случаев: $((-\infty, -4) \cup (-1, 2) \cup (3, \infty)) \cup \{-4, -1, 2, 3\}$. Объединяя интервалы с их граничными точками, получаем:$(-\infty, -4) \cup \{-4\} = (-\infty, -4]$;$(-1, 2) \cup \{-1, 2\} = [-1, 2]$;$(3, \infty) \cup \{3\} = [3, \infty)$. Итоговое решение является объединением этих множеств.

Ответ: $x \in (-\infty, -4] \cup [-1, 2] \cup [3, \infty)$.

45. Решите неравенство $\left|\frac{x-3}{x^2-49}\right| \ge \frac{x-3}{x^2-49}$.

Данное неравенство имеет вид $|A| \ge A$, где $A = \frac{x-3}{x^2-49}$.

По определению абсолютной величины, неравенство $|A| \ge A$ является верным для любого действительного числа $A$, для которого оно определено. Рассмотрим это подробнее:

1. Если выражение $A$ неотрицательно, то есть $A \ge 0$, то $|A| = A$. Неравенство принимает вид $A \ge A$, что является верным тождеством.

2. Если выражение $A$ отрицательно, то есть $A < 0$, то $|A| = -A$. Неравенство принимает вид $-A \ge A$. Так как $A$ — отрицательное число, то $-A$ — положительное. Любое положительное число всегда больше любого отрицательного, следовательно, неравенство $-A > A$ верно.

Таким образом, исходное неравенство справедливо для всех значений $x$, при которых выражение $\frac{x-3}{x^2-49}$ имеет смысл. То есть, решением неравенства является область определения данного выражения.

Область определения выражения находится из условия, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

$x^2 - 49 \neq 0$

$x^2 \neq 49$

$x \neq \pm\sqrt{49}$

$x \neq 7$ и $x \neq -7$.

Следовательно, решением неравенства являются все действительные числа, кроме $x = -7$ и $x = 7$.

Ответ: $x \in (-\infty, -7) \cup (-7, 7) \cup (7, \infty)$.

46. Для каждого значения $a$ решите неравенство:

1) $(x-4)(x-a) < 0;$

2) $(x-4)(x-a)^2 > 0;$

3) $(x-4)(x-a)^2 \ge 0;$

4) $(x-a)(x+2)^2 < 0;$

5) $(x-a)(x+2)^2 \le 0;$

6) $\frac{x-7}{x-a} \le 0;$

7) $\frac{(x-5)(x-a)}{x-5} \ge 0;$

8) $\frac{(x-5)(x-a)}{x-a} \le 0.$

1) Решим неравенство $(x-4)(x-a) < 0$.

Это квадратичное неравенство. Корнями соответствующего уравнения $(x-4)(x-a) = 0$ являются $x_1 = 4$ и $x_2 = a$. Решение неравенства зависит от взаимного расположения этих корней.

Рассмотрим три возможных случая:

• Если $a < 4$, то корни на числовой оси располагаются в порядке $a, 4$. Графиком функции $y=(x-4)(x-a)$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции отрицательны между корнями. Следовательно, $x \in (a, 4)$.

• Если $a = 4$, неравенство принимает вид $(x-4)^2 < 0$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, это неравенство не имеет решений.

• Если $a > 4$, то корни на числовой оси располагаются в порядке $4, a$. Аналогично первому случаю, решение неравенства — интервал между корнями. Следовательно, $x \in (4, a)$.

Ответ: если $a < 4$, то $x \in (a, 4)$; если $a = 4$, то решений нет; если $a > 4$, то $x \in (4, a)$.

2) Решим неравенство $(x-4)(x-a)^2 > 0$.

Множитель $(x-a)^2$ всегда неотрицателен. Для выполнения строгого неравенства он должен быть строго положителен, то есть $(x-a)^2 \neq 0$, откуда $x \neq a$.
При условии $x \neq a$, множитель $(x-a)^2$ положителен, и неравенство равносильно неравенству $x-4 > 0$, то есть $x > 4$.
Таким образом, решение неравенства — это все $x$, удовлетворяющие системе $\begin{cases} x > 4 \\ x \neq a \end{cases}$.

Рассмотрим различные значения $a$:

• Если $a \le 4$, то условие $x > 4$ автоматически гарантирует выполнение условия $x \neq a$. В этом случае решением будет $x \in (4, \infty)$.

• Если $a > 4$, то из интервала $(4, \infty)$ необходимо исключить точку $x=a$. Решением будет объединение интервалов $(4, a) \cup (a, \infty)$.

Ответ: если $a \le 4$, то $x \in (4, \infty)$; если $a > 4$, то $x \in (4, a) \cup (a, \infty)$.

3) Решим неравенство $(x-4)(x-a)^2 \ge 0$.

Данное неравенство выполняется в двух случаях: когда левая часть равна нулю и когда она строго больше нуля.
1. $(x-4)(x-a)^2 = 0$ при $x=4$ или $x=a$.
2. $(x-4)(x-a)^2 > 0$ (из предыдущего пункта) при $x > 4$ и $x \neq a$.
Объединим эти решения.

Рассмотрим различные значения $a$:

• Если $a < 4$, решение для строгой части $x \in (4, \infty)$. Объединяя с точками $x=4$ и $x=a$, получаем множество $\{a\} \cup [4, \infty)$.

• Если $a = 4$, неравенство принимает вид $(x-4)^3 \ge 0$, что равносильно $x-4 \ge 0$, то есть $x \ge 4$. Решение: $x \in [4, \infty)$.

• Если $a > 4$, решение для строгой части $x \in (4, a) \cup (a, \infty)$. Объединяя с точками $x=4$ и $x=a$, получаем $[4, a] \cup [a, \infty)$, что равносильно $[4, \infty)$.

Можно обобщить: решение — это множество $\{x \mid x \ge 4\} \cup \{a\}$.

Ответ: если $a < 4$, то $x \in \{a\} \cup [4, \infty)$; если $a \ge 4$, то $x \in [4, \infty)$.

4) Решим неравенство $(x-a)(x+2)^2 < 0$.

Аналогично пункту 2, множитель $(x+2)^2$ неотрицателен. Для выполнения строгого неравенства он должен быть строго положителен, то есть $x \neq -2$.
При $x \neq -2$, неравенство равносильно $x-a < 0$, то есть $x < a$.
Итак, ищем решения системы $\begin{cases} x < a \\ x \neq -2 \end{cases}$.

Рассмотрим различные значения $a$:

• Если $a \le -2$, то условие $x < a$ автоматически гарантирует, что $x \neq -2$. Решением будет $x \in (-\infty, a)$.

• Если $a > -2$, то из интервала $(-\infty, a)$ нужно исключить точку $x=-2$. Решением будет $(-\infty, -2) \cup (-2, a)$.

Ответ: если $a \le -2$, то $x \in (-\infty, a)$; если $a > -2$, то $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, a)$.

5) Решим неравенство $(x-a)(x+2)^2 \le 0$.

Неравенство выполняется, когда левая часть равна нулю или строго меньше нуля.
1. $(x-a)(x+2)^2 = 0$ при $x=a$ или $x=-2$.
2. $(x-a)(x+2)^2 < 0$ (из предыдущего пункта) при $x < a$ и $x \neq -2$.
Объединяя эти решения, получаем множество $\{x \mid x \le a\} \cup \{-2\}$.

Рассмотрим различные значения $a$:

• Если $a < -2$, точка $-2$ не входит в интервал $(-\infty, a]$. Решение: $x \in (-\infty, a] \cup \{-2\}$.

• Если $a \ge -2$, точка $-2$ уже содержится в промежутке $(-\infty, a]$. Решение: $x \in (-\infty, a]$.

Ответ: если $a < -2$, то $x \in (-\infty, a] \cup \{-2\}$; если $a \ge -2$, то $x \in (-\infty, a]$.

6) Решим неравенство $\frac{x-7}{x-a} \le 0$.

Это дробно-рациональное неравенство. Решим его методом интервалов. Нуль числителя: $x=7$. Нуль знаменателя: $x=a$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq a$. Нанесем точки $7$ и $a$ на числовую ось и определим знаки выражения на полученных интервалах.

Рассмотрим три случая:

• Если $a < 7$. Точки на оси: $a$ и $7$. Интервалы: $(-\infty, a)$, $(a, 7]$, $[7, \infty)$. Знаки выражения $\frac{x-7}{x-a}$ на них: $+, -, +$. Нам нужен участок, где выражение $\le 0$. Это интервал $(a, 7]$. Точка $x=a$ выколота, так как это нуль знаменателя, а точка $x=7$ включена.

• Если $a = 7$. Неравенство принимает вид $\frac{x-7}{x-7} \le 0$. Область допустимых значений $x \neq 7$. При $x \neq 7$ левая часть равна $1$. Неравенство $1 \le 0$ неверно. Решений нет.

• Если $a > 7$. Точки на оси: $7$ и $a$. Интервалы: $(-\infty, 7]$, $[7, a)$, $(a, \infty)$. Знаки выражения $\frac{x-7}{x-a}$ на них: $+, -, +$. Решением является интервал $[7, a)$.

Ответ: если $a < 7$, то $x \in (a, 7]$; если $a = 7$, то решений нет; если $a > 7$, то $x \in [7, a)$.

7) Решим неравенство $\frac{(x-5)(x-a)}{x-5} \ge 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не равен нулю, то есть $x \neq 5$. При $x \neq 5$ мы можем сократить дробь на $(x-5)$. Неравенство становится равносильным системе: $\begin{cases} x-a \ge 0 \\ x \neq 5 \end{cases}$, что эквивалентно $\begin{cases} x \ge a \\ x \neq 5 \end{cases}$.

Рассмотрим различные значения $a$:

• Если $a < 5$. Решение $x \ge a$ включает точку $x=5$, которую нужно исключить. Получаем $x \in [a, 5) \cup (5, \infty)$.

• Если $a = 5$. Система принимает вид $\begin{cases} x \ge 5 \\ x \neq 5 \end{cases}$, что дает $x > 5$. Решение: $x \in (5, \infty)$.

• Если $a > 5$. Решение $x \ge a$ автоматически удовлетворяет условию $x \neq 5$, так как все $x$ в этом множестве больше 5. Решение: $x \in [a, \infty)$.

Ответ: если $a < 5$, то $x \in [a, 5) \cup (5, \infty)$; если $a = 5$, то $x \in (5, \infty)$; если $a > 5$, то $x \in [a, \infty)$.

8) Решим неравенство $\frac{(x-5)(x-a)}{x-a} \le 0$.

ОДЗ: $x \neq a$. При $x \neq a$ можем сократить дробь на $(x-a)$. Неравенство становится равносильным системе: $\begin{cases} x-5 \le 0 \\ x \neq a \end{cases}$, что эквивалентно $\begin{cases} x \le 5 \\ x \neq a \end{cases}$.

Рассмотрим различные значения $a$:

• Если $a < 5$. Решение $x \le 5$ включает точку $x=a$, которую нужно исключить. Получаем $x \in (-\infty, a) \cup (a, 5]$.

• Если $a = 5$. Система принимает вид $\begin{cases} x \le 5 \\ x \neq 5 \end{cases}$, что дает $x < 5$. Решение: $x \in (-\infty, 5)$.

• Если $a > 5$. Решение $x \le 5$ автоматически удовлетворяет условию $x \neq a$, так как $a$ не входит в множество $(-\infty, 5]$. Решение: $x \in (-\infty, 5]$.

Ответ: если $a < 5$, то $x \in (-\infty, a) \cup (a, 5]$; если $a = 5$, то $x \in (-\infty, 5)$; если $a > 5$, то $x \in (-\infty, 5]$.