Номер 46, страница 116 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

46. Для каждого значения $a$ решите неравенство:

1) $(x-4)(x-a) < 0;$

2) $(x-4)(x-a)^2 > 0;$

3) $(x-4)(x-a)^2 \ge 0;$

4) $(x-a)(x+2)^2 < 0;$

5) $(x-a)(x+2)^2 \le 0;$

6) $\frac{x-7}{x-a} \le 0;$

7) $\frac{(x-5)(x-a)}{x-5} \ge 0;$

8) $\frac{(x-5)(x-a)}{x-a} \le 0.$

1) Решим неравенство $(x-4)(x-a) < 0$.

Это квадратичное неравенство. Корнями соответствующего уравнения $(x-4)(x-a) = 0$ являются $x_1 = 4$ и $x_2 = a$. Решение неравенства зависит от взаимного расположения этих корней.

Рассмотрим три возможных случая:

• Если $a < 4$, то корни на числовой оси располагаются в порядке $a, 4$. Графиком функции $y=(x-4)(x-a)$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции отрицательны между корнями. Следовательно, $x \in (a, 4)$.

• Если $a = 4$, неравенство принимает вид $(x-4)^2 < 0$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, это неравенство не имеет решений.

• Если $a > 4$, то корни на числовой оси располагаются в порядке $4, a$. Аналогично первому случаю, решение неравенства — интервал между корнями. Следовательно, $x \in (4, a)$.

Ответ: если $a < 4$, то $x \in (a, 4)$; если $a = 4$, то решений нет; если $a > 4$, то $x \in (4, a)$.

2) Решим неравенство $(x-4)(x-a)^2 > 0$.

Множитель $(x-a)^2$ всегда неотрицателен. Для выполнения строгого неравенства он должен быть строго положителен, то есть $(x-a)^2 \neq 0$, откуда $x \neq a$.
При условии $x \neq a$, множитель $(x-a)^2$ положителен, и неравенство равносильно неравенству $x-4 > 0$, то есть $x > 4$.
Таким образом, решение неравенства — это все $x$, удовлетворяющие системе $\begin{cases} x > 4 \\ x \neq a \end{cases}$.

Рассмотрим различные значения $a$:

• Если $a \le 4$, то условие $x > 4$ автоматически гарантирует выполнение условия $x \neq a$. В этом случае решением будет $x \in (4, \infty)$.

• Если $a > 4$, то из интервала $(4, \infty)$ необходимо исключить точку $x=a$. Решением будет объединение интервалов $(4, a) \cup (a, \infty)$.

Ответ: если $a \le 4$, то $x \in (4, \infty)$; если $a > 4$, то $x \in (4, a) \cup (a, \infty)$.

3) Решим неравенство $(x-4)(x-a)^2 \ge 0$.

Данное неравенство выполняется в двух случаях: когда левая часть равна нулю и когда она строго больше нуля.
1. $(x-4)(x-a)^2 = 0$ при $x=4$ или $x=a$.
2. $(x-4)(x-a)^2 > 0$ (из предыдущего пункта) при $x > 4$ и $x \neq a$.
Объединим эти решения.

Рассмотрим различные значения $a$:

• Если $a < 4$, решение для строгой части $x \in (4, \infty)$. Объединяя с точками $x=4$ и $x=a$, получаем множество $\{a\} \cup [4, \infty)$.

• Если $a = 4$, неравенство принимает вид $(x-4)^3 \ge 0$, что равносильно $x-4 \ge 0$, то есть $x \ge 4$. Решение: $x \in [4, \infty)$.

• Если $a > 4$, решение для строгой части $x \in (4, a) \cup (a, \infty)$. Объединяя с точками $x=4$ и $x=a$, получаем $[4, a] \cup [a, \infty)$, что равносильно $[4, \infty)$.

Можно обобщить: решение — это множество $\{x \mid x \ge 4\} \cup \{a\}$.

Ответ: если $a < 4$, то $x \in \{a\} \cup [4, \infty)$; если $a \ge 4$, то $x \in [4, \infty)$.

4) Решим неравенство $(x-a)(x+2)^2 < 0$.

Аналогично пункту 2, множитель $(x+2)^2$ неотрицателен. Для выполнения строгого неравенства он должен быть строго положителен, то есть $x \neq -2$.
При $x \neq -2$, неравенство равносильно $x-a < 0$, то есть $x < a$.
Итак, ищем решения системы $\begin{cases} x < a \\ x \neq -2 \end{cases}$.

Рассмотрим различные значения $a$:

• Если $a \le -2$, то условие $x < a$ автоматически гарантирует, что $x \neq -2$. Решением будет $x \in (-\infty, a)$.

• Если $a > -2$, то из интервала $(-\infty, a)$ нужно исключить точку $x=-2$. Решением будет $(-\infty, -2) \cup (-2, a)$.

Ответ: если $a \le -2$, то $x \in (-\infty, a)$; если $a > -2$, то $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, a)$.

5) Решим неравенство $(x-a)(x+2)^2 \le 0$.

Неравенство выполняется, когда левая часть равна нулю или строго меньше нуля.
1. $(x-a)(x+2)^2 = 0$ при $x=a$ или $x=-2$.
2. $(x-a)(x+2)^2 < 0$ (из предыдущего пункта) при $x < a$ и $x \neq -2$.
Объединяя эти решения, получаем множество $\{x \mid x \le a\} \cup \{-2\}$.

Рассмотрим различные значения $a$:

• Если $a < -2$, точка $-2$ не входит в интервал $(-\infty, a]$. Решение: $x \in (-\infty, a] \cup \{-2\}$.

• Если $a \ge -2$, точка $-2$ уже содержится в промежутке $(-\infty, a]$. Решение: $x \in (-\infty, a]$.

Ответ: если $a < -2$, то $x \in (-\infty, a] \cup \{-2\}$; если $a \ge -2$, то $x \in (-\infty, a]$.

6) Решим неравенство $\frac{x-7}{x-a} \le 0$.

Это дробно-рациональное неравенство. Решим его методом интервалов. Нуль числителя: $x=7$. Нуль знаменателя: $x=a$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq a$. Нанесем точки $7$ и $a$ на числовую ось и определим знаки выражения на полученных интервалах.

Рассмотрим три случая:

• Если $a < 7$. Точки на оси: $a$ и $7$. Интервалы: $(-\infty, a)$, $(a, 7]$, $[7, \infty)$. Знаки выражения $\frac{x-7}{x-a}$ на них: $+, -, +$. Нам нужен участок, где выражение $\le 0$. Это интервал $(a, 7]$. Точка $x=a$ выколота, так как это нуль знаменателя, а точка $x=7$ включена.

• Если $a = 7$. Неравенство принимает вид $\frac{x-7}{x-7} \le 0$. Область допустимых значений $x \neq 7$. При $x \neq 7$ левая часть равна $1$. Неравенство $1 \le 0$ неверно. Решений нет.

• Если $a > 7$. Точки на оси: $7$ и $a$. Интервалы: $(-\infty, 7]$, $[7, a)$, $(a, \infty)$. Знаки выражения $\frac{x-7}{x-a}$ на них: $+, -, +$. Решением является интервал $[7, a)$.

Ответ: если $a < 7$, то $x \in (a, 7]$; если $a = 7$, то решений нет; если $a > 7$, то $x \in [7, a)$.

7) Решим неравенство $\frac{(x-5)(x-a)}{x-5} \ge 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не равен нулю, то есть $x \neq 5$. При $x \neq 5$ мы можем сократить дробь на $(x-5)$. Неравенство становится равносильным системе: $\begin{cases} x-a \ge 0 \\ x \neq 5 \end{cases}$, что эквивалентно $\begin{cases} x \ge a \\ x \neq 5 \end{cases}$.

Рассмотрим различные значения $a$:

• Если $a < 5$. Решение $x \ge a$ включает точку $x=5$, которую нужно исключить. Получаем $x \in [a, 5) \cup (5, \infty)$.

• Если $a = 5$. Система принимает вид $\begin{cases} x \ge 5 \\ x \neq 5 \end{cases}$, что дает $x > 5$. Решение: $x \in (5, \infty)$.

• Если $a > 5$. Решение $x \ge a$ автоматически удовлетворяет условию $x \neq 5$, так как все $x$ в этом множестве больше 5. Решение: $x \in [a, \infty)$.

Ответ: если $a < 5$, то $x \in [a, 5) \cup (5, \infty)$; если $a = 5$, то $x \in (5, \infty)$; если $a > 5$, то $x \in [a, \infty)$.

8) Решим неравенство $\frac{(x-5)(x-a)}{x-a} \le 0$.

ОДЗ: $x \neq a$. При $x \neq a$ можем сократить дробь на $(x-a)$. Неравенство становится равносильным системе: $\begin{cases} x-5 \le 0 \\ x \neq a \end{cases}$, что эквивалентно $\begin{cases} x \le 5 \\ x \neq a \end{cases}$.

Рассмотрим различные значения $a$:

• Если $a < 5$. Решение $x \le 5$ включает точку $x=a$, которую нужно исключить. Получаем $x \in (-\infty, a) \cup (a, 5]$.

• Если $a = 5$. Система принимает вид $\begin{cases} x \le 5 \\ x \neq 5 \end{cases}$, что дает $x < 5$. Решение: $x \in (-\infty, 5)$.

• Если $a > 5$. Решение $x \le 5$ автоматически удовлетворяет условию $x \neq a$, так как $a$ не входит в множество $(-\infty, 5]$. Решение: $x \in (-\infty, 5]$.

Ответ: если $a < 5$, то $x \in (-\infty, a) \cup (a, 5]$; если $a = 5$, то $x \in (-\infty, 5)$; если $a > 5$, то $x \in (-\infty, 5]$.