Номер 48, страница 117 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

48. Функция задана формулой $\varphi(x) = x^{16}$. Сравните:

1) $\varphi(3,5)$ и $\varphi(2,9)$;

2) $\varphi(-8,1)$ и $\varphi(-6,5)$;

3) $\varphi(1,4)$ и $\varphi(-1,4)$;

4) $\varphi(-0,18)$ и $\varphi(0,14)$.

Для сравнения значений функции $ \varphi(x) = x^{16} $ проанализируем ее свойства. Показатель степени 16 является четным числом, поэтому функция обладает следующими ключевыми свойствами:
1. Четность: для любого значения $ x $ выполняется равенство $ \varphi(-x) = (-x)^{16} = x^{16} = \varphi(x) $.
2. Возрастание на $ [0, +\infty) $: если $ 0 \le x_1 < x_2 $, то $ \varphi(x_1) < \varphi(x_2) $.
3. Убывание на $ (-\infty, 0] $: если $ x_1 < x_2 \le 0 $, то $ \varphi(x_1) > \varphi(x_2) $.

1) $ \varphi(3,5) $ и $ \varphi(2,9) $;
Аргументы $ 3,5 $ и $ 2,9 $ оба положительны, то есть принадлежат промежутку возрастания функции. Поскольку $ 3,5 > 2,9 $, то из свойства возрастания функции следует, что $ \varphi(3,5) > \varphi(2,9) $.
Ответ: $ \varphi(3,5) > \varphi(2,9) $.

2) $ \varphi(-8,1) $ и $ \varphi(-6,5) $;
Аргументы $ -8,1 $ и $ -6,5 $ оба отрицательны, то есть принадлежат промежутку убывания функции. Поскольку $ -8,1 < -6,5 $, то из свойства убывания функции следует, что $ \varphi(-8,1) > \varphi(-6,5) $.
Альтернативно, можно использовать свойство четности: $ \varphi(-8,1) = (8,1)^{16} $ и $ \varphi(-6,5) = (6,5)^{16} $. Так как $ 8,1 > 6,5 $, а на положительной полуоси функция возрастает, то $ (8,1)^{16} > (6,5)^{16} $, что означает $ \varphi(-8,1) > \varphi(-6,5) $.
Ответ: $ \varphi(-8,1) > \varphi(-6,5) $.

3) $ \varphi(1,4) $ и $ \varphi(-1,4) $;
Функция $ \varphi(x) = x^{16} $ является четной. По определению четной функции, $ \varphi(x) = \varphi(-x) $ для любого $ x $. Подставив $ x = 1,4 $, получаем $ \varphi(1,4) = \varphi(-1,4) $.
Ответ: $ \varphi(1,4) = \varphi(-1,4) $.

4) $ \varphi(-0,18) $ и $ \varphi(0,14) $.
Воспользуемся свойством четности для первого выражения: $ \varphi(-0,18) = (-0,18)^{16} = (0,18)^{16} $.
Теперь необходимо сравнить $ (0,18)^{16} $ и $ \varphi(0,14) = (0,14)^{16} $. Аргументы $ 0,18 $ и $ 0,14 $ — положительные числа, то есть принадлежат промежутку возрастания функции. Поскольку $ 0,18 > 0,14 $, то $ (0,18)^{16} > (0,14)^{16} $.
Следовательно, $ \varphi(-0,18) > \varphi(0,14) $.
Ответ: $ \varphi(-0,18) > \varphi(0,14) $.