Номер 55, страница 117 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

55. Определите графически количество корней уравнения:

1) $-x^6 = -2 + x$;

2) $x^7 = 2x + 3$.

Для графического определения количества корней уравнения необходимо представить его в виде равенства двух функций $f(x) = g(x)$. Количество корней исходного уравнения будет равно количеству точек пересечения графиков функций $y=f(x)$ и $y=g(x)$.

1) $-x^6 = -2 + x$

Представим данное уравнение в виде равенства двух функций: $y_1 = -x^6$ и $y_2 = x - 2$.
Построим эскизы графиков этих функций в одной системе координат.
1. График функции $y_1 = -x^6$ — это степенная функция. Так как показатель степени — четное число (6), график симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$). Знак "минус" перед $x^6$ означает, что ветви графика направлены вниз. График проходит через начало координат (0,0), а также через точки (1, -1) и (-1, -1). Он похож на параболу, но более "прижат" к оси $Ox$ на интервале $(-1, 1)$ и растет (по модулю) быстрее вне этого интервала.
2. График функции $y_2 = x - 2$ — это прямая линия. Она пересекает ось $Oy$ в точке (0, -2) и ось $Ox$ в точке (2, 0). Угловой коэффициент равен 1.
При построении эскизов видно, что графики пересекаются в двух точках.
Одна точка пересечения находится в IV координатной четверти (при $x > 0$). Можно заметить, что $x=1$ является корнем: $-1^6 = -1$ и $1-2 = -1$.
Вторая точка пересечения находится в III координатной четверти (при $x < 0$). При $x=0$ график $y_1 = -x^6$ находится выше графика $y_2 = x - 2$ ($0 > -2$). При $x \to -\infty$ функция $-x^6$ убывает гораздо быстрее, чем $x-2$, поэтому график $y_1$ окажется ниже графика $y_2$. Так как обе функции непрерывны, их графики должны пересечься при некотором отрицательном значении $x$.
Следовательно, уравнение имеет два корня.
Ответ: 2 корня.

2) $x^7 = 2x + 3$

Представим данное уравнение в виде равенства двух функций: $y_1 = x^7$ и $y_2 = 2x + 3$.
Построим эскизы графиков этих функций в одной системе координат.
1. График функции $y_1 = x^7$ — это степенная функция. Так как показатель степени — нечетное число (7), график симметричен относительно начала координат. График проходит через точки (0, 0), (1, 1) и (-1, -1). Он похож на кубическую параболу, но более "прижат" к оси $Ox$ на интервале $(-1, 1)$ и растет быстрее вне этого интервала.
2. График функции $y_2 = 2x + 3$ — это прямая линия с угловым коэффициентом 2, пересекающая ось $Oy$ в точке (0, 3). Ось $Ox$ она пересекает в точке $(-1.5, 0)$.
Рассмотрим поведение графиков:
- При $x > 0$: В точке $x=0$ прямая находится выше графика степенной функции ($3 > 0$). Однако, при росте $x$, функция $x^7$ растет значительно быстрее, чем линейная функция $2x+3$. Например, при $x=2$, $y_1=128$, а $y_2=7$. Так как обе функции непрерывны, их графики должны пересечься в одной точке при $x>0$.
- При $x \le 0$: Прямая $y_2=2x+3$ положительна на интервале $(-1.5, 0)$ и равна нулю при $x=-1.5$, в то время как функция $y_1=x^7$ на этом интервале отрицательна или равна нулю. Следовательно, на промежутке $[-1.5, 0]$ пересечений нет. При $x < -1.5$ обе функции отрицательны, но абсолютное значение $x^7$ растет намного быстрее, чем абсолютное значение $2x+3$, поэтому график $y_1=x^7$ будет всегда лежать ниже графика $y_2=2x+3$. Пересечений в этой области также нет.
Следовательно, графики функций пересекаются только в одной точке.
Ответ: 1 корень.