Номер 53, страница 117 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

53. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^6$ на промежутке:

1) [0; 3];

2) [-3; -2];

3) [-3; 3];

4) $(-\infty; -3]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = x^6$ на заданных промежутках, проанализируем её свойства. Это степенная функция с чётным показателем (6).

• График функции симметричен относительно оси ординат (оси OY), так как функция чётная: $y(-x) = (-x)^6 = x^6 = y(x)$.
• Функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; \infty)$.
• В точке $x=0$ функция достигает своего глобального минимума, равного $y(0) = 0^6 = 0$.
• Функция всегда неотрицательна, то есть $y \ge 0$ для любого $x$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений на отрезке, нужно вычислить значения функции на концах отрезка и в точках экстремума, принадлежащих этому отрезку, а затем выбрать из них наибольшее и наименьшее. В данном случае, единственная точка экстремума (минимума) — это $x=0$.

1) [0; 3]

Данный промежуток — это отрезок $[0; 3]$. На этом отрезке функция $y = x^6$ является монотонно возрастающей, так как он полностью лежит в области возрастания функции ($[0; \infty)$).
Следовательно, наименьшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.
Вычислим значения функции на концах отрезка:

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(0) = 0^6 = 0$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(3) = 3^6 = 729$.

Ответ: наименьшее значение равно 0, наибольшее значение равно 729.

2) [-3; -2]

Данный промежуток — это отрезок $[-3; -2]$. На этом отрезке функция $y = x^6$ является монотонно убывающей, так как он полностью лежит в области убывания функции ($( - \infty; 0]$).
Следовательно, наименьшее значение функция принимает на правом конце отрезка, а наибольшее — на левом.
Вычислим значения функции на концах отрезка:

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-3) = (-3)^6 = 729$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-2) = (-2)^6 = 64$.

Ответ: наименьшее значение равно 64, наибольшее значение равно 729.

3) [-3; 3]

Данный промежуток — это отрезок $[-3; 3]$. Этот отрезок включает в себя точку минимума функции $x=0$.
Наименьшее значение функции на этом отрезке будет достигаться в точке минимума.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(0) = 0^6 = 0$.
Для нахождения наибольшего значения необходимо сравнить значения функции на концах отрезка.
$y(-3) = (-3)^6 = 729$.
$y(3) = 3^6 = 729$.
Так как на отрезке $[-3; 0]$ функция убывает от $y(-3)=729$ до $y(0)=0$, а на отрезке $[0; 3]$ возрастает от $y(0)=0$ до $y(3)=729$, то наибольшее значение достигается на концах отрезка.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = 729$.

Ответ: наименьшее значение равно 0, наибольшее значение равно 729.

4) (-∞; -3]

Данный промежуток — это луч $(-\infty; -3]$. На этом промежутке функция $y = x^6$ является монотонно убывающей.
Следовательно, наименьшее значение функция принимает в самой правой точке промежутка, то есть при $x = -3$.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-3) = (-3)^6 = 729$.
Для нахождения наибольшего значения рассмотрим поведение функции при $x \to -\infty$.
$\lim_{x \to -\infty} x^6 = +\infty$.
Это означает, что функция не ограничена сверху на данном промежутке, и её значения могут быть сколь угодно большими. Таким образом, наибольшего значения у функции на этом промежутке не существует.

Ответ: наименьшее значение равно 729, наибольшего значения не существует.