Номер 62, страница 118 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

62. Дана функция $f(x) = x^{-26}$. Сравните:

1) $f(-3,9)$ и $f(-2,5)$;

2) $f(0,4)$ и $f(-0,4)$;

3) $f(19)$ и $f(16)$;

4) $f(-26)$ и $f(3)$.

Дана функция $f(x) = x^{-26}$. Для того чтобы сравнить значения функции в различных точках, проанализируем её свойства.
Функцию можно представить в виде $f(x) = \frac{1}{x^{26}}$.
Свойства функции:
1. Четность. Показатель степени $-26$ является четным числом, следовательно, функция $f(x)$ является четной. Это означает, что для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. График функции симметричен относительно оси ординат.
2. Монотонность.
- На промежутке $(0; +\infty)$ функция $f(x)$ убывает. Это значит, что если $0 < x_1 < x_2$, то $f(x_1) > f(x_2)$. Чем больше положительный аргумент, тем меньше значение функции.
- На промежутке $(-\infty; 0)$ функция $f(x)$ возрастает. Это значит, что если $x_1 < x_2 < 0$, то $f(x_1) < f(x_2)$.

1) f(-3,9) и f(-2,5)

Аргументы $-3,9$ и $-2,5$ принадлежат промежутку $(-\infty; 0)$. На этом промежутке функция $f(x)=x^{-26}$ возрастает.
Так как $-3,9 < -2,5$, то согласно свойству возрастающей функции, $f(-3,9) < f(-2,5)$.
Ответ: $f(-3,9) < f(-2,5)$.

2) f(0,4) и f(-0,4)

Функция $f(x)=x^{-26}$ является четной, поскольку показатель степени $-26$ — четное число.
По определению четной функции, $f(x) = f(-x)$ для всех $x$ из области определения.
Следовательно, $f(0,4) = f(-0,4)$.
Ответ: $f(0,4) = f(-0,4)$.

3) f(19) и f(16)

Аргументы $19$ и $16$ принадлежат промежутку $(0; +\infty)$. На этом промежутке функция $f(x)=x^{-26}$ убывает.
Так как $16 < 19$, то согласно свойству убывающей функции, $f(16) > f(19)$.
Ответ: $f(19) < f(16)$.

4) f(-26) и f(3)

Воспользуемся свойством четности функции: $f(-26) = f(26)$.
Теперь задача сводится к сравнению значений $f(26)$ и $f(3)$.
Оба аргумента, $26$ и $3$, принадлежат промежутку $(0; +\infty)$, на котором функция убывает.
Так как $3 < 26$, то $f(3) > f(26)$.
Заменив $f(26)$ на равное ему $f(-26)$, получаем $f(3) > f(-26)$.
Ответ: $f(-26) < f(3)$.