Номер 68, страница 119 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

68. Чётным или нечётным является натуральное число $n$ в показателе степени функции $f(x) = x^{-n}$, если:

1) $f(-3) > f(-2)$;

2) $f(-3) < f(2)$;

3) $f(-3) < f(-2)$;

4) $f(3) > f(-2)$?

Данная функция $f(x) = x^{-n}$ может быть записана как $f(x) = \frac{1}{x^n}$, где $n$ — натуральное число. Чётность или нечётность $n$ влияет на свойства функции, в частности на её поведение при отрицательных значениях $x$.

Если $n$ — чётное число.
Функция $f(x) = \frac{1}{x^n}$ будет чётной, так как $f(-x) = \frac{1}{(-x)^n} = \frac{1}{x^n} = f(x)$. Для отрицательных $x$, функция возрастает. Например, если взять $x_1 = -3$ и $x_2 = -2$, то $x_1 < x_2$. Так как $n$ чётное, $(-3)^n = 3^n$ и $(-2)^n = 2^n$. Поскольку $3^n > 2^n$, то $\frac{1}{3^n} < \frac{1}{2^n}$, следовательно $f(-3) < f(-2)$. В общем случае, для $x_1 < x_2 < 0$ выполняется $f(x_1) < f(x_2)$.

Если $n$ — нечётное число.
Функция $f(x) = \frac{1}{x^n}$ будет нечётной, так как $f(-x) = \frac{1}{(-x)^n} = \frac{1}{-x^n} = -f(x)$. Для отрицательных $x$, функция убывает. Например, для $x_1 = -3$ и $x_2 = -2$, имеем $x_1 < x_2$. Так как $n$ нечётное, $(-3)^n = -3^n$ и $(-2)^n = -2^n$. Поскольку $3^n > 2^n$, то $\frac{1}{3^n} < \frac{1}{2^n}$ и, умножая на -1, получаем $-\frac{1}{3^n} > -\frac{1}{2^n}$, следовательно $f(-3) > f(-2)$. В общем случае, для $x_1 < x_2 < 0$ выполняется $f(x_1) > f(x_2)$.

Рассмотрим каждое условие задачи.

1) f(-3) > f(-2)

Мы сравниваем значения функции в точках $x_1 = -3$ и $x_2 = -2$. Условие $f(-3) > f(-2)$ при $-3 < -2$ означает, что функция на этом участке убывает. Как показано выше, убывание функции на промежутке $(-\infty, 0)$ характерно для нечётного показателя $n$.
Ответ: нечётное.

2) f(-3) < f(2)

Подставим значения в неравенство: $(-3)^{-n} < 2^{-n}$, что равносильно $\frac{1}{(-3)^n} < \frac{1}{2^n}$.
- Если $n$ чётное, неравенство принимает вид $\frac{1}{3^n} < \frac{1}{2^n}$, что эквивалентно $3^n > 2^n$. Это верно для любого натурального $n$.
- Если $n$ нечётное, неравенство принимает вид $\frac{1}{-3^n} < \frac{1}{2^n}$, то есть $-\frac{1}{3^n} < \frac{1}{2^n}$. Это также верно, так как отрицательное число всегда меньше положительного.
Неравенство выполняется для любого натурального $n$, поэтому по данному условию определить чётность $n$ невозможно.
Ответ: определить чётность невозможно.

3) f(-3) < f(-2)

Условие $f(-3) < f(-2)$ при $-3 < -2$ означает, что функция на этом участке возрастает. Как показано выше, возрастание функции на промежутке $(-\infty, 0)$ характерно для чётного показателя $n$.
Ответ: чётное.

4) f(3) > f(-2)

Подставим значения в неравенство: $3^{-n} > (-2)^{-n}$, что равносильно $\frac{1}{3^n} > \frac{1}{(-2)^n}$.
- Если $n$ чётное, неравенство принимает вид $\frac{1}{3^n} > \frac{1}{2^n}$, что эквивалентно $3^n < 2^n$. Это неверно для любого натурального $n$.
- Если $n$ нечётное, неравенство принимает вид $\frac{1}{3^n} > \frac{1}{-2^n}$, то есть $\frac{1}{3^n} > -\frac{1}{2^n}$. Это верно, так как положительное число всегда больше отрицательного.
Следовательно, условие выполняется только для нечётных $n$.
Ответ: нечётное.