Номер 72, страница 120 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

72. Найдите область значений функции:

1) $y = \sqrt[4]{x} + 15;$

2) $y = -\sqrt[6]{x} - 1;$

3) $y = \sqrt[5]{x} - 7.$

1) Рассмотрим функцию $y = \sqrt[4]{x} + 15$. Выражение $\sqrt[4]{x}$ представляет собой корень четной степени (четвертой). По определению, арифметический корень четной степени из неотрицательного числа есть число неотрицательное. Следовательно, область значений для $\sqrt[4]{x}$ есть промежуток $[0; +\infty)$. Запишем это в виде неравенства: $\sqrt[4]{x} \ge 0$. Чтобы найти область значений для всей функции $y$, прибавим 15 к обеим частям этого неравенства: $\sqrt[4]{x} + 15 \ge 0 + 15$ $y \ge 15$. Таким образом, область значений функции — это все числа, большие или равные 15. Ответ: $[15; +\infty)$.

2) Рассмотрим функцию $y = -\sqrt[6]{x} - 1$. Выражение $\sqrt[6]{x}$ представляет собой корень четной степени. Его область значений — $[0; +\infty)$. Запишем это в виде неравенства: $\sqrt[6]{x} \ge 0$. Теперь рассмотрим преобразования. Сначала умножим неравенство на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $-\sqrt[6]{x} \le 0 \cdot (-1)$ $-\sqrt[6]{x} \le 0$. Далее вычтем 1 из обеих частей: $-\sqrt[6]{x} - 1 \le 0 - 1$ $y \le -1$. Таким образом, область значений функции — это все числа, меньшие или равные -1. Ответ: $(-\infty; -1]$.

3) Рассмотрим функцию $y = \sqrt[5]{x} - 7$. Выражение $\sqrt[5]{x}$ представляет собой корень нечетной степени. Корень нечетной степени может быть извлечен из любого действительного числа (положительного, отрицательного или нуля), и его значением также может быть любое действительное число. Следовательно, область значений для $\sqrt[5]{x}$ — это множество всех действительных чисел, то есть $(-\infty; +\infty)$. Когда из выражения, которое может принимать любое действительное значение, вычитается константа (в данном случае 7), итоговое выражение также может принимать любое действительное значение. Значит, $y$ может принимать любые значения из $(-\infty; +\infty)$. Таким образом, область значений функции — это множество всех действительных чисел $\mathbb{R}$. Ответ: $(-\infty; +\infty)$.